Ein Satz über die \textit{Kramp}sche Transzendente und einige bestimmte Integrale. (Q1473675)

Bezeichnet man die \textit{Kramp}sche Transzendente mit \(L (x),\) also \[ L(x) = \int_x^\infty e^{-t^2} dt, \] so ist sofort ersichtlich, daß\ \(L(x)\) für keinen reellen Wert von \(x\) verschwindet. Indem der Verf. \(L(\alpha + \beta i)\) in den reellen und den imaginären Bestandteil zerlegt, führt er schnell den vermeintlichen Beweis, daß\ diese Funktion auch keine komplexe Nullstellen besitzt. Nach der Redaktionsanmerkung auf S. 308 ist dieser Satz zu streichen, weil nach einer Bemerkung von \textit{Pólya} die \textit{Kramp}sche Transzendente vom Range 2 ist. Nebenbei stellt sich heraus, daß\ \(L (\alpha + \beta i)\) und \(L (-\alpha + \beta i)\) in den imaginären Komponenten völlig übereinstimmen. Ferner ergibt sich dabei die für alle Werte von \(\beta\) gültige Formel \[ \int_0^\infty e^{-t^2-\alpha t} \cos (2\beta t) dt = \tfrac 12 \alpha \int_0^\infty \frac {e^{-\alpha^2 z -\beta^2 z / (1+z)}}{\sqrt {1+z}}\;dz \] für positives \(\alpha\) und \[ \int_0^\infty e^{-t^2-2\alpha t} \sin (2\beta t) dt = \frac 12 \beta \int_0^\infty \frac {e^{-\alpha^2 z -\beta^2 z / (1+z)}}{\sqrt {1+z}}\;dz, \] bei denen für \(\beta -\alpha\) die linken Seiten sich in geschlossener Form durch die \textit{Fresnel}schen Funktionen \(C(x)=\int_x^\infty \cos (t^2) dt, \quad S(x)= \int_x^\infty \sin(t^2)dt\) ausdrücken lassen. In der Ableitung von derartigen Beziehungen zwischen Integralen besteht der Inhalt der formelreichen Arbeit. So werden einige Integrale mitgeteilt, die sich durch Zylinderfunktionen und durch Gammafunktionen ausdrücken lassen, Dabei wird der Satz gefunden: Die \textit{Hankel}sche Zylinderfunktion erster Art besitzt keine rein imaginären Nullpunkte.