Über die Entwicklungskoeffizienten der elliptischen Funktionen, insbesondere im Falle singulärer Module. (Q1473685)

Die \textit{Bernoulli}schen Zahlen \(B_n \) ergeben sich bei der Entwicklung der Kreisfunktion \(\cot u\) in der Umgebung der Stelle \(u = 0\) vermöge der Gleichung \[ \sum_{(r=\pm 1, \pm 2, \dots)} \frac 1{r^{2n}} = \frac {(2\pi)^{2n}}{(2n)!} B_n. \] Eine ihrer schönsten Eigenschaften besteht in dem \textit{Staudt-Clausen}schen Satze, wonach \[ B_n = g_n + \tfrac 12 + \sum \frac {(-1)^n}{p} \] ist, wo \(g_n\) eine ganze Zahl bedeutet und \(p\) alle ungeraden Primzahlen durchläuft, für die \(p -1\) ein Teiler von \(2n\) ist. Wie \textit{Hurwitz} (F. d. M. 28, 393 (JFM 28.0393.*), 1897; 29, 385, 1898) erkannt hat, führt die Entwicklung der lemniskatischen Funktion \(\wp (u; \omega, i\omega)\) in der Umgebung der Stelle \(u = 0\) vermöge der Gleichung \[ \sum_{r,s}{}' \frac 1{(r+is)^{4n}} = \frac {(2\omega)^{4n}}{(4n)!} E_n, \;\omega = 2\int_0^1 \frac {dx}{\sqrt {1-x^4}}, \] zu einer Reihe von rationalen Zahlen \(E_n,\) die den \textit{Bernoulli}schen Zahlen an die Seite zu stellen sind; im besonderen gilt für sie im Körper \(K(\sqrt{-1})\) ein ähnlicher Satz wie der von \textit{Staudt-Clausen, Matter} hatte dann (F. d. M. 31, 204 (JFM 31.0204.*), 1900) die entsprechende Untersuchung für die Funktion \(\wp (u; \omega,\varrho \omega)\) durchgeführt, wo \(\varrho\) eine dritte Wurzel der Einheit bezeichnet; in diesem Falle werden die rationalen Zahlen \(F_n\) durch die Gleichung \[ \sum_{r,s}{}' \frac 1{(r+\varrho s)^{6n}} = \frac {(2\omega)^{6n}}{(6n)!} F_n, \;\omega = 2\int_0^1 \frac {dx}{\sqrt {1-x^6}}, \] erklärt. Endlich hatte \textit{Dintzl} (F. d. M. 40, 265 (JFM 40.0265.*), 1909) angenommen, daß\ das Periodenverhältnis gleich \(\sqrt {- 2}\) sei. Da auch in diesen beiden Fällen unter Heranziehung der Körper \(K (\varrho)\) und \(K (\sqrt {-2})\) ähnliche Sätze erhalten wurden, lag es nahe, die Entwicklungskoeffizienten der elliptischen Funktionen im Falle irgend eines singulären Moduls zu untersuchen, bei dem ja das Periodenverhältnis Wurzel einer ganzzahligen quadratischen Gleichung mit negativer Diskriminante wird. Zu diesem Zwecke werden in dem ersten Teil der vorliegenden Abhandlung als Vorbereitung die Koeffizienten der Entwicklungen der allgemeinen elliptischen Funktionen \(\wp (u; \omega, \omega')\) und 1 : \(\text{sn}^2 (u; k^2)\) in der Umgebung der Stelle \(u = 0\) betrachtet. Diese Koeffizienten werden bis auf rationale Faktoren dargestellt durch die Summen \[ \sum_{r,s}{}' \frac 1{(r+\tau s)^{2n}} = \frac {(4\omega)^{2n}}{(2n)!} E_n', \] wo \(\tau\) das Periodenverhältnis \(2\omega':\omega\) bezeichnet, und nunmehr ergibt sich, daß\ die Entwicklungskoeffizienten \(E_n'\) ganze Funktionen von \(k^2\) mit rationalen Koeffizienten sind, und zwar erscheint \(E_n'\) als der Quotient einer ganzen ganzzahligen Funktion von \(k^2\) und einer ganzen Zahl, deren ungerade Primteiler erstens nur in der ersten Potenz auftreten und zweitens so beschaffen sind, daß\ \(p -1\) ein Teiler von \(2n\) ist. Es folgt im zweiten Teile die Untersuchung der Entwicklungskoeffizienten \(E_n'\) für den besonderen Fall, daß\ das Periodenverhältnis \(\tau\) Wurzel einer quadratischen Gleichung \[ A\tau^2 + 2B\tau + C = 0 \] mit negativer Determinante \(D = B^2 - AC\) ist. Werden die Entwicklungskoeffizienten als Zahlen im Klassenkörper \({\mathfrak K} (k^2, \sqrt D)\) aufgefaßt und darin auf die einfachste Gestalt gebracht, so besitzen die Nenner der \(E_n'\) folgende bemerkenswerte Eigenschaften: 1. Ist \(\mathfrak p\) ein Primideal des quadratischen Körpers \(\varOmega (\sqrt D),\) dessen Norm eine ungerade, zu \(D\) teilerfremde rationale Primzahl \(p\) ist, für die \((\frac Dp)= +1\) und \(2n\) durch \(p -1\) teilbar ist, so kann dieses Primideal im Nenner von \(E_n'\) höchstens in der ersten Potenz aufgehen. 2. Die ungeraden Primzahlen \(q,\) für die \(\left(\frac Dq\right)= -1\) ist, fehlen in sämtlichen Nennern der Zahlen \(E_n'.\) 3. Ist \(p^*\) eine in der Determinante \(D\) aufgehende ungerade rationale Primzahl, für die \(p^* -1\) ein Teiler von \(2n\) ist, so ist der Nenner von \(E_n'\) höchstens durch \(\sqrt {p*}\) teilbar. Auf Grund dieser Eigenschaften läßt sich im Klassenkörper \({\mathfrak K}(k^2, \sqrt D)\) eine Partialbruchzerlegung der Zahlen \(E_n'\) vornehmen, in der die Zähler der Partialbrüche für die Primideale \(\mathfrak p\) näher bestimmt werden, es wird nämlich \[ E_n' = e_n' + \sum_{({\mathfrak p}_\alpha)} \frac {\sigma_\alpha'}{\mu_\alpha'}+ \sum_{({\mathfrak p}_\beta^*)} \frac {\tau_\beta'}{\mu_\beta^*}; \] die erste Summe ist über alle Primideale \({\mathfrak p}_\alpha\) der Eigenschaft 1. zu erstrecken, die zweite über die Primideale der Eigenschaft 3., für die \(2n\) durch \(p^* -1,\) aber nicht durch \(p^*\) selbst teilbar ist. Zu der Bestimmung der Zähler in den Partialbruchzerlegungen dient der Zusammenhang, der zwischen den Entwicklungskoeffizienten der Funktionen 1 : \(\text{sn}^2 (u; k^2)\) und 1 : sn \((u; k^2)\) besteht. Wenn entsprechend der Entwicklung \[ \frac 1{\text{sn}^2 (u; k^2)} = \frac 1{u^2} + \sum_{n=1}^\infty \frac {2^{2n} E_n'}{2n} \cdot \frac {u^{2n- 2}}{(2n-2)!} \] gesetzt wird \[ \frac 1{\text{sn} (u; k^2)} = \frac 1{u} + \sum_{n=1}^\infty \frac {2^{2n} E_n}{2n} \cdot \frac {u^{2n-1}}{(2n-1)!}, \] so zeigt sich, daß\ auch die \(E_n\) ganze Funktionen von \(k^2\) mit rationalen Koeffizienten sind, denen, wenn sie als Zahlen des Klassenkörpers \({\mathfrak K} (k^2, \sqrt D)\) aufgefaßt werden, die Eigenschaften 1., 2. und 3. zukommen.