Einige neue Formeln über Kugelfunktionen. (Q1473711)

1. Der bekannten Darstellung der einfachen Kugelfunktion \(P_n(x)\) als vielfacher Differentialquotient werden folgende Formeln zur Seite gestellt, in denen nach \(x^2\) differenziert wird: \[ P_{2n} (x) = \frac {x}{n!} \frac {d^n [ x^{2n-1}(x^2- 1)^n]}{d(x^2)^n}, \;P_{2n+1} (x)= \frac 1{n!} \frac {d^n [ x^{2n+1}(x^2-1)^n]}{d(x^2)^n}. \] 2. Es ist \[ \int_{-1}^{+1} [\beta x + \sqrt {1+\beta^2 x^2}]^{n+3} P_n (x) dx = \frac 23 (n+3) \beta^n (\sqrt {1+\beta^2})^3. \] Für diese Formel, die für jeden reellen Wert von \(\beta\) gilt, werden zwei Ableitungen gegeben. Eine Erweiterung der Formel für andere Potenzen der Klammergröße unter dem Integral hat der Verf. in einer späteren Arbeit mitgeteilt (vgl. d. Bd. S. 585).