Beiträge zur Theorie der Kegelfunktionen. (Q1473714)

Der Aufsatz zerfällt in drei Teile, deren jeder ein anderes Problem behandelt. Im ersten Teile wird gezeigt, wie man die Theorie der Kugelfunktionen im Anschluß\ an die allgemeine Theorie der Integralgleichungen entwickeln kann. Zu dem Zwecke wird die homogene Integralgleichung zweiter Art \[ (1)\qquad \varPhi (u, v) = \lambda \int_0^\pi \left[ \int_0^{2\pi} F (\cos \gamma) \varPhi (u', v') dv' \right] \sin u' du' \] betrachtet. Darin bezeichnen \(u, v; u', v'\) die Polarkoordinaten zweier Punkte einer Kugelfläche, \(\gamma\) ihren sphärischen Abstand, \(F (x)\) eine beliebige, in dem Intervall \(-1 \leqq x \leqq 1\) stetige Funktion. Zunächst wird der Fall untersucht, daß\ \(\varPhi (u, v)\) von \(v\) unabhängig ist, und eine solche Funktion \(\varPhi\) wird eine ``für den Pol \(A\) der Polarkoordinaten steife Funktion'' genannt. In diesem Falle kann man das normierte Orthogonalsystem der Eigenfunktionen von (1) stets aus solchen Funktionen \(P\) zusammensetzen, die, falls \(\cos u = x, \cos u' = x'\) gesetzt wird, der Funktionalgleichung \[ (4) \quad \frac 1{2\pi} \int_0^{2\pi} P(z) d\bar v = \frac {P(x) P(x')}{P(1)}, \quad z=xx' + \sqrt {1-x^2} \sqrt {1-x'^2} \cos \bar v \] genügen. Nennt man mit dem Verf. das Integral \[ \frac 1 {2\pi} \int_0^{2\pi} \varPhi (u, v) dv \] ``die Versteifung der Funktion \(\varPhi\) hin bezug auf den Pol \(A\) der Polarkoordinaten'', so kann man das vorstehende Resultat auch so aussprechen: ``Die Funktionen \(P\) reproduzieren sich durch den Prozeß\ der Versteifung bis auf einen konstanten multiplikativen Faktor''. Bei der Ableitung dieses Ergebnissee werden folgende Hilfssätze benutzt: 1. Wenn \(\varPhi (u, v)\) der allgemeinen Gleichung (1) genügt, so genügt auch die Versteifung von \(\varPhi (u, v)\) dieser Gleichung. 2. Sind \(f\) und \(\varphi\) zwei in dem Intervall \(-1 \leqq x \leqq 1\) integrable Funktionen, so ist \[ \int_{-1}^{+1} \varphi (x')\left[\int_0^{2\pi} f(z) d\bar v \right] dx' = \int_{-1}^{+1} f(x') \left[\int_0^{2\pi} \varphi (z) d\bar v\right] dx'. \] Weiter ergibt sich, daß\ die Funktionen \(P(x)\) Polynome in \(x\) sind, und daß\ sie der Differentialgleichung der Kugelfunktionen genügen. Letzteres folgt aus der geometrischen Bedeutung des zweiten Differentialparameters: Bildet man den Mittelwert von \(\varPhi (u, v)\) längs eines kleinen Kreises mit dem sphärischen Radius \(\delta,\) zieht davon den Funktionswert im Pol des Kreises ab und dividiert die Differenz durch \(\delta^2,\) so ist der Grenzwert dieses Quotienten für \(\delta = 0\) ein Viertel des Wertes, den der zweite Differentialparameter von \(\varPhi\) im Pol hat. Schließ\ lich kann man das vollständige, normierte Orthogonalsystem der Eigenfunktionen der allgemeinen Gleichung (1) aus einer endlichen Summe solcher Funktionen \(Y_{in}(u, v)\) zusammensetzen, die der Integralgleichung \[ (7) \qquad Y_{in} (u, v) = \lambda \int P_n (\cos \gamma) Y_{in} (u', v') dk' \] genügen, wobei \(dk'\) ein Flächenelement der Einheitskugel und über diese ganze Kugel zu integrieren ist. Der einzige Eigenwert von (7) ist aber, wie sich durch Integration von (4) ergibt, \(\lambda = \frac {P_n (1)}{2\pi}.\) Zum vollständigen Aufbau der Theorie der Kugelfunktionen ist noch der Wert von \(P_n(1)\) zu bestimmen, und für diesen ergibt sich \[ P_n (1) =\sqrt {\frac {2n+1}2}. \] Im zweiten Teil wird gezeigt, wie mau eine beliebige stetige Funktion auf der Kugel durch eine endliche Reihe von Kugelfunktionen angenähert darstellen kann. Aus dem Hilfssatz, daß, wenn \(f(x)\) eine im Intervatt \(-1 \leqq x \leqq 1\) stetige Funktion bedeutet, \[ \lim_{h=\infty} h \int_{-1}^{+1} f(x) (x^{2h} + x^{2h+1} )dx =f(1) \] ist; folgt \[ \varPhi (u,v) = \lim_{h=\infty} h\int \varPhi (u',v') (\cos^{2h} \gamma + \cos^{2h+1} + \gamma) dk,' \] wobei \(\gamma\) und \(dk'\) dieselbe Bedeutung haben wie oben. Drückt man hierin \((\cos \gamma)^{2h}\) und \((\cos \gamma)^{2h+1}\) durch die bekannten endlichen Reihen der einfachen Kugelfunktionen \(p_n(\cos \gamma)\) [die mit der obigen Funktionen \(P\) durch die Gleichung \(p_n (x) = P_n (x) : P_n (1)\) zusammenhängen], aus, so erhält man unter dem Integralzeichen eine endliche Reihe von \textit{Laplace}schen Kugelfunktionen, die für passend groß\ gewählte \(h\) die Funktion \(\varPhi(u, v)\) angenähert darstellt. Der Grad der Genauigkeit dieser Darstellung wird untersucht, und es ergibt sich die Differenz zwischen \(\varPhi(u, v)\) und dem angenäherten Wert \(=K \log (2h): 2h,\) wo \(K\) eine endliche Konstante ist. Im dritten Teil wird die Konvergenz der Entwicklung einer stetigen Funktion nach \textit{Legendre}schen Polynomen für den Fall erweitert, daß\ die Koeffizienten der Entwicklung nicht negativ sind. Ist \(F(x)\) die zu entwickelnde Funktion und \(\alpha_\nu\) der Koeffizient von \(p_\nu (x),\) so wende je man auf die Funktion \[ f(x)=F(x) - \sum_1^m \alpha_\nu p_\nu (x) \] den im zweiten Teil benutzten Hilfssatz an. Aus ihm folgt \[ \lim_{h=\infty} h \int_{-1}^{+1} f(x) (x^{2h} + x^{2h+1} )dx = F(1) - \sum_1^m \alpha_\nu, \] und dieser Ausdruck ist, da alle Koeffizienten \(\alpha_\nu\) positiv sind. Da aber \(| p\nu (x)| \leqq 1,\) so folgt, daß\ die Reihenentwicklung von \(F(x)\) konvergiert.