Über die Zylinderfunktionen. (Q1473717)

Als Definition der \textit{Bessel}schen Funktionen wählt der Verf. mit \textit{Schlömilch} die Entwicklung \[ (5) \qquad F(z, u) = e^{\frac 12 \left( u -\frac 1u\right)} = \sum_{-\infty}^{+\infty} u^k I_k (z), \] in der \(z\) und \(u\) komplexe Veränderliche bezeichnen. Aus (5) folgen nicht nur die Reihe für \(I_k (z),\) sondern auch die Funktionalgleichungen (Rekursionsformeln) zwischen drei Funktionen mit aufeinanderfolgenden Indizes und aus letzteren die \textit{Bessel}sche Differentialgleichung. Die Funktionalgleichungen ihrerseits dienen, wenn man von ganzen rationalen zu beliebigen komplexen Werten des Zeigers \(k\) übergeht, als Definition der allgemeinen Zylinderfunktion. Aus der Definitionsgleichung (5) folgt ferner für ganzzahlige \(k\) die Darstellung von \(I_k\) durch ein Integral: bei dem der Integrationsweg eine geschlossene, die Stelle \(u = 0\) im positiven Sinne umkreisende Kurve ist. Wählt man als Integrationsweg den Einheitskreis, so gelangt man zum \textit{Bessel}schen Integral. Andererseits läßt sich die Integraldarstellung auf beliebige komplexe Zeiger \(\mu\) ausdehnen. Dazu zerschneide man, falls \(a\) eine von Null und Unendlich verschiedene komplexe Zahl ist, die schlichte Ebene durch eine Halbgerade, die von \(u = 0\) ausgeht und die Stelle \(u = a\) enthält, lasse dann den Integrationsweg von \(u = a\) auf der einen, bis \(u = a\) auf der anderen Seite des Schnittes verlaufen. Von diesem Integral läßt sich zeigen, daß\ es der ersten Funktionalgleichung der Zylinderfunktionen genügt, der zweiten aber nur dann, wenn \(F(z, a)\cdot a^{-\mu}\) für jeden Wert von von \(z\) und \(\mu\) verschwindet. Das wird dadurch erreicht, daß\ man die schlichte \(u\)-Ebene durch ein auf der Geraden \((0, z)\) in \(u = 0\) errichtetes Lot in zwei Halbebenen teilt. Dann verschwindet der in Rede stehende Ausdruck einmal, wenn man die Stelle \(u= \infty\) auf einem Wege erreicht, der ganz in der \(z\) nicht enthaltenden Halbebene verläuft, zweitens aber auch, wenn man in die Stelle \(u = 0\) auf einem Wege hineingeht, der ganz in der \(z\) enthaltenden Halbebene liegt. So ergeben sich zwei Integrale, die den beiden Funktionalgleichungen, zugleich also der \textit{Bessel}schen Differentialgleichung genügen. Daß\ das erste dieser Integrale als \textit{Bessel}sche Zylinderfunktion \(I_\mu\) bezeichnet wird, beruht auf Übereinkommen. Aus dem Integral für \(I_\mu (z)\) wird noch die Reihe für diese Funktion hergeleitet, ferner die Formeln für \(I_\mu (x + y)\) und \(I_\mu (xy).\) Zum Schluß\ wird folgender Satz bewiesen. Bedeutet \(w(\mu)\) eine willkürliche Funktion von \(\mu\), so stellt die Reihe \[ F_\mu (z) =\sum_{k=0}^\infty \frac {(z-c)^k}{2^kk!} \sum_{r=0}^k (-1)r \left( \begin{matrix} k\\r\end{matrix} \right) w(\mu -k +2r), \] falls sie konvergiert, das allgemeine Integral der ersten Funktionalgleichung \[ 2I_\mu' (z) = I_{\mu-1} (z) - I_{\mu+1} (z) \] dar.