Ein Satz über \textit{Dirichlet}sche Reihen mit Anwendung auf die \(\zeta\)-Funktion und die \(L\)-Funktionen. (Q1473731)

In der Richtung auf den Beweis der \textit{Riemann}schen Vermutung, daß\ die komplexen Nullstellen der \(\zeta\)-Funktion sämtlich den reellen Teil \(\frac 12\) haben, wird in der ersten Note bewiesen: Es sei \(f (s)= \varSigma\, \frac {a_m}{m^s}\) für \(\sigma> 0\) konvergent \((s= \sigma + it)\) und nicht identisch 0. Dann ist bei jedem \(\delta > 0\) im Gebiete \(\sigma \geqq \frac 12 + \sigma, - T \leqq t \leqq +T\) die Anzahl \(N(T)\) der Nullstellen von \(f (s)\) gleich \(O(T).\) In der zweiten Abhandlung wird \(O (T)\) durch das bessere \(o(T )\) ersetzt. Als Anwendung auf die Reihen \(L(s)\) und speziell für \(\zeta(s)\) ergibt sich hieraus: Die Nullstellen dieser Funktionen liegen meist in nächster Nähe der Geraden \(\sigma = \frac 12.\) Oder: In dem beliebig schmalen Streifen \(\frac 12 - \delta < \sigma < \frac + \delta\) liegen sicher unendlich viele Nullstellen.