Neue Anwendungen der Theorie der diophantischen Approximationen auf die \textit{Riemann}sche Zetafunktion. (Q1473737)

Diese Arbeit ist der ausführlichen Darstellung des Beweises für das Ergebnis gewidmet, das in der vorstehenden Besprechung als \textit{erstes} genannt ist, -- ein Ergebnis, welches ``das intrikate Verhalten von \(\zeta(s)\) im kritischen Streifen in prägnanter Weise zum Ausdruck bringt''. In einer ausführlichen Einleitung sind die Quellen und die Grundgedanken des Beweises dargelegt. Wir versuchen diese tiefgehenden Darlegungen in Kürze zu rekapitulieren: Die Untersuchungen des Wartevorrats der \(\zeta\)-Funktion auf einer Vertikalen \({\mathfrak R}(s)= \sigma_0\) geschehen mit Hilfe des \textit{Euler}schen Produktes \(\varPi (1- p_n^{-s})^{-1},\) das in den Anfang \(F_N\) und den Rest \(R_N,\) zerspalten wird. Solange das feste \(\sigma_0 > 1\) ist, macht nun der Rest des Produktes \[ R_N = \prod_{n=N+1}^\infty ( 1-p_n^{-s} )^{-1} \] keine Schwierigkeiten, weil er für alle \(t\) gleichmäßig wenig von 1 abweicht, wenn \(N\) hinreichend groß\ ist. Für \(\frac 12< \sigma_0 \leqq 1\) ist die Situation eine ganz andere, weil jetzt das Produkt divergiert. Hier wird nun der Rest durch \[ R_N=\frac {\zeta (\sigma_0+ ti)}{F_N (\sigma_0 + ti)} \] definiert; aber es zeigt sich, daß\ für ihn in gewissem Ausmaß\ e dieselben Abschätzungen möglich sind wie für \(\sigma_0> 1:\) Obgleich \(| R_N -1| < \varepsilon\) für ein \(\sigma_0\) der Strecke \(\frac 12 \dots1\) nicht mehr gleichmäßig für \textit{alle} \(t\) erreicht werden kann, ist dies doch noch für ``fast alle'' \(t\) möglich und zwar eben in einem Ausmaß\ e, welches zusammen mit gewissen Erweiterungen der schon früher benutzten \textit{Kronecker}schen Approximatiunssätze zu demselben Ergebnisse wie früher zu kommen gestattet.