Einige Bemerkungen über Kurven und Flächen von konstanter Breite. (Q1473764)

Bei der Behandlung des ``Nadelproblems'' der Wahrscheinlichkeitsrechnung hat \textit{E. Barbier} gefunden, daß\ jede geschlossene und konvexe ebene Kurve von der konstanten Breite \(b\) (d. h. bei der je zwei parallele Tangenten die Entfernung \(b\) haben ) den Umfang \(b\pi\) besitzt. Da sich nun der Begriff der konstanten Breite auf sphärische Kurven und auf geschlossene konvexe Flächen überträgt, so entsteht die Aufgabe, hierbei das Gegenstück des Satzes von Barbier aufzusuchen. Wenn man bemerkt, daß\ diese Kurven und Flächen zu sich selbst ``parallel'' sind, so findet man: Zwischen der Gesamtkrümmung \(I (= 2\pi-\) Flächeninhalt) und dem Umfang \(L\) einer Kurve von der konstanten Breite \(\beta\) auf der Einheitskugel besteht die Beziehung \[ L= I \text{\,tg\,} \tfrac {\beta}2. \] Bei den Flächen der konstanten Breite \(b\) gilt z. B. zwischen Inhalt \(I\) und Oberfläche \(O\) die Gleichung \[ 2I =bO - \frac {2\pi}3 b^3. \] Ähnliche Beziehungen werden auch für den nicht-euklidischen Raum hergeleitet.