Lehrbuch der abzählenden Methoden der Geometrie. (Q1474013)

Dieses Lehrbuch des ersten Kenners und Meisters der abzählenden Geometrie ist seit langer Zeit mit Spannung erwartet worden. Es gibt wohl kaum ein anderes Gebiet der Mathematik, auf dem auch in der letzten Zeit so oft unstrenge Methoden angewandt und falsche Resultate erhalten wurden, wie in der abzählenden Geometrie. Der Verf., einer der Mitbegründer der abzählenden Geometrie, hat einen großen Teil seiner wissenschaftlichen Tätigkeit der Aufgabe gewidmet, die Methoden der abzählenden Geometrie zu vervollkommnen und die Bedingungen ihrer Anwendbarkeit zu präzisieren. Das vorliegende Lehrbuch ist zum großen Teil nach den so gewonnenen Erfahrungen und Einsichten orientiert. Durch diese persönliche Einstellung ist aber wohl auch zu erklären, daß\ die Methoden der Theorie der \textit{Abel}schen Funktionen, die in den Händen von \textit{Clebsch} und \textit{Hurwitz} zu bedeutendsten Erfolgen geführt haben, vollkommen mit Schweigen übergangen werden. Allerdings haben diese transzendenten Methoden über das zweidimensionale Gebiet hinaus noch nicht angewandt werden können. Die Sicherheit bei der Anwendung der abzählenden Methoden kann nur dadurch gewonnen werden, daß\ man bei jedem Schritt in Fühlung mit der Algebra bleibt. ``Übrigens dürfen hier, wie überall in der exakten Geometrie, die wirklichen Schlüsse nicht auf eine mehr oder weniger gesicherte geometrische Anschauung gegründet werden, sondern müssen derartig sein, daß\ sie sich auch in die Sprache der Algebra übertragen lassen.'' Der Verf. sucht auch überall dieser Forderung gerecht zu werden. Im übrigen geht der Verf. den der abzählenden Geometrie eigentümlichen Schwierigkeiten nirgends aus dem Wege, sondern behandelt sie stets mit besonderer Ausführlichkeit. So werden in besonderen Paragraphen behandelt: [3] Reduzible Aufgaben; mehrfache Lösungen. [4] Spezialfälle und Grenzfälle; unendlich viele Lösungen. [5] Relativität der Begriffe ``allgemein'' und ``speziell''. Ebene Kurven gegebener Ordnung und Klasse. [17] Übergang vom Speziellen zum Allgemeinen. [26-28] Benutzung von zusammengesetzten Gebilden. [29] Benutzung von abgeplatteten Kurven oder Flächen. [36] Spezielle Aufgaben, die mehr Lösungen als die allgemeinen haben. [50] Beweise dafür, daß\ Größen konstant bleiben. [58] Über eigentliche und uneigentliche Abhängigkeit der Bedingungen usw. Das Buch zerfällt in 6 Kapitel. Im 1., einleitenden Kapitel wird nach Besprechung einiger Begriffe und Festsetzungen über die fundamentale Frage der abzählenden Geometrie gehandelt, über die \textit{Bestimmung der Anzahl zusammenfallender Lösungen.} Da alle Anzahlbestimmungen in der abzählenden Geometrie nur gelten, wenn die Gebilde mit ``geeigneter Mehrfachheft'' gezählt werden, so müssen vor allem allgemeine Definitionen für Multiplizitäten gegeben werden, die nicht von Problem zu Problem anders gewählt werden dürfen. Bei den hier gegebenen Definitionen wird zwar auch von den Reihenentwicklungen algebraischer Funktionen einer Variablen Gebrauch gemacht, im übrigen wird die wohl von \textit{Halphen} herrührende Definition der Multiplizitäten mit Hilfe der Ordnungen gewisser unendlich kleiner Segmente benutzt. Das 2. Kapitel ist der ``\textit{Methode der Erhaltung der Anzahl}'' gewidmet. Der Gebrauch, den der Verf. von dieser Methode macht, ist aber vollständig gerechtfertigt durch die Möglichkeit, die Schlüsse ins Algebraische zu übersetzen. Es werden behandelt: a) Direkte Anwendungen. Hier wird auch die (wie der Verf. ausdrücklich hervorhebt) nicht vollständig strenge ``funktionale Methode'' von \textit{Cayley} vorgeführt. b) Aufgaben mit unendlich vielen Lösungen. Hierher gehören insbesondere die \textit{Poncelet}schen Schließungssätze. c) Aufgaben mit null Lösungen. d) Anwendung auf metrische Eigenschaften (Brennpunkte, Schwerpunkte). e) Indirekte Abzählung zusammenfallender Lösungen. f ) Umgekehrte Anwendung der Erhaltung der Anzahl (eine besonders von \textit{A. Beek} durchgebildete Methode). Das 3. Kapitel behandelt die \textit{Geschlechtssätze}. Im ersten Abschnitt werden der \textit{Riemann}sche Geschlechtssatz und seine Verallgemeinerungen bewiesen und auf sehr viele verschiedene Fragenangewandt, so z. B. auf die Theorie der Systeme von Kurven, von Flächen dritter Ordnung usw. Hier werden auch die Formeln von \textit{Plücker} und \textit{Cayley} behandelt und mit den Geschlechtssätzen in Zusammenhang gebracht. Der zweite, leider ziemlich kurze Abschnitt des Kapitels handelt über \textit{Geschlechtssätze von Flächen,} also über Fragen, die mit Dingen zusammenhängen, die auch heute noch im Mittelpunkte des geometrischen Interesses stehen. Im 4. Kapitel geht der Verf. zum \textit{Korrespondenzprinzip} über oder vielmehr zu den verschiedenen Korrespondenzprinzipen. Diese ``Prinzipe'' geben die Anzahlen von Punkten an, die bei verschiedenen Korrespondenzen mit den ihnen entsprechenden zusammenfallen. Das Kapitel zerfällt in: a) Korrespondenzen einstufiger Gebilde vom Geschlechte 0 (das \textit{Chasles}sche Korrespondenzprinzip und seine Verallgemeinerungen und Anwendungen). b) Korrespondenzen einstufiger Gebilde vom beliebigen Geschlecht (das \textit{Cayley-Brill}sche Korrespondenzprinzip für beliebige algebraische Kurven). c) Korrespondenz von Punkten eines Gebildes mit zwei Dimensionen (hier werden besonders viele liniengeometrische Anwendungen gegeben). Im 5. Kapitel, \textit{Systeme} von \textit{Gebilden,} geht der Verf. auf Fragen ein, die in der Geschichte der abzählenden Geometrie eine besondere Rolle spielten. Insbesondere gehört das sogenannte Charakteristikenproblem hierher. Dieses Kapitel, dessen Betrachtungen besonders oft an \textit{Halphens} Untersuchungen anknüpfen, gliedert sich in 4 Abschnitte: a) Systeme von Kurven, b) Systeme von Kegelschnitten, c) Systeme von Flächen, d) Bestimmung von Korrelationen. Im letzten, 6. Kapitel wird endlich \textit{Schuberts symbolischer Kalkül} behandelt, und dabei auch auf mehrdimensionale Räume, die sonst nur beiläufig berührt werden, eingegangen. Über den reichen Inhalt des Lehrbuches, von dem die vorstehende Übersicht nur eine sehr unvollkommene Vorstellung geben kann, orientiert das am Schlusse angefügte, nach den geometrischen Gebilden geordnete Inhaltsverzeichnis. Das Buch wird jedem mit den Grundbegriffen der algebraischen Geometrie Vertrauten beim Einarbeiten in die moderne algebraische Geometrie ausgezeichnete Dienste leisten.