Über tripolare Ebenenkoordinaten und ein Analogon zur \textit{Bonnet}schen Transformation. (Q1474023)

Eine orientierte Ebene läßt sich durch die Abstände \(\xi_1, \xi_2, \xi_3\) von drei gegebenen Punkten, die ``tripolaren Ebenenkoordinaten'', festlegen. Die dadurch herbeigeführte Vereinfachung in der Gleichung geometrischer Gebilde zeigt sich u. a. in der Gleichung \(f (\xi_1, -t, \xi_2-t, \xi_3-t)=0\) für jede Parallelfläche von \(f(\xi_1, \xi_2, \xi_3,)=0\) sowie in der Gleichung \(f(\xi_1, \xi_2, \xi_3,)\)=konst. für die mit \(f = 0\) konfokalen Flächen. Andererseits ergeben sich so fruchtbare Übertragungsprinzipien. Man betrachte drei Zahlen einmal als lineare Koordinaten, das andere Mal als die tripolaren und untersuche die dadurch zugeordneten Gebilde. Dabei wählt man zweckmäßig als lineare Koordinaten einer Ebene deren ``Prismenkoordinaten'' (s. u.), die Gleichsetzung der beiderlei Koordinaten liefert eine Ebenentransformation \(\mathfrak T\), die jeden eigentlichen Punkt \(p\) überführt in die orientierte Kugel durch \(p\), deren Mitte der Normalriß\ von \(p\) auf eine feste Ebene \(\Pi\) ist, d. i. die das zyklographische Bild von \(p\) auf \(\Pi\) als Hauptkreis hat: Indem man von den Kreisen in \(\Pi\) zu den Kugeln durch sie übergeht, erlangt die Zyklographie eine viel weiter reichende Bedeutung. Dabei ist \(\mathfrak T\) das Analogon zur \textit{Bonnet}schen Transformation, welche einem Punkte \(p\) die Kugel zuordnet, die die Minimalprojektion von \(p\) auf \(\Pi\) als Hauptkreis hat. In Nr.1 wird die Theorie der Prismenkoordinaten entwickelt. Sind \(o_l, o_2, o_3\) drei Ecken eines eigentlichen Dreiecks in einer Ebene \(\Pi\) und die ``Achsen'' \(O_1, O_2g, O_3\) deren Senkrechte, so schneide eine eigentliche Ebene \(\xi\) die Achsen in den Punkten \(x_1, x_2, x_3\); dann sind nach \textit{Fiedler} die orientierten Strecken \(u_i = (x_io_i)\) die Prismenkoordinaten der Ebene \(\xi\); es sind lineare Ebenenkoordinaten, die Gleichungen \(u_i = u_i^\prime-t\) stellen eine Schiebung \(\perp \Pi\) um die Strecke \(t\) dar. Die \(u_i\) sind zugleich die Abstandkoordinaten (Dreipunktkoordinaten) der Spur \([\xi \Pi]\) in bezug auf die Ecken \(o_1, o_2, o_3\). Eine homogene Gleichung in den \(u_i\) stellt eine Strahlkurve in \(\Pi\) dar, insbesondere eine lineare Gleichung einen Punkt. Alle Flächen \(f(u_1, u_2, u_3)\) = konst. besitzen in \(\Pi\) denselben scheinbaren Normalumriß. Den \(u_i\) werden in Nr.2 die tripolaren Ebenenkoordinaten \(\xi_i\) gegenübergestellt. Eine Gleichung \(f(\xi_1, \xi_2, \xi_3)=0\) bestimmt eine bezüglich \(\Pi\) symmetrische Fläche, Kurve oder Punktgruppe. Die Koordinatentransformation \(\xi_i=\xi_i^\prime-t\) stellt eine Dilatation des Raumes um die Größe \(t\) dar. Die allgemeine lineare Gleichung in den \(\xi_i\) liefert eine \(\Pi\) normal schneidende orientierte Kugel, die im besonderen auch eine uneigentliche (Grenzkugel) sein kann. Die Ebenen mit unendlich großen \(\xi_i\) sind, außer der uneigentlichen Ebene \(A\), die Minimalebenen. An die durch eine Gleichung \(n\)-ten Grades zwischen den \(\xi_i\) bestimmte Fläche lassen sich aus jeder Geraden von \(\Pi\) \(n\) Paare orientierter Tangentialebenen legen, so daß\ die Fläche im allgemeinen die Klasse \(2n\) besitzt. Insbesondere erhält man für \(n = 2\) die ``Hyperzykliden'', ein duales Gegenstück zu den Zykliden. Nunmehr wird in Nr. 3 die eingangs besprochene Transformation \(\mathfrak T\) untersucht. Zwei entsprechende Ebenen \(\xi\) und \(\overline\xi\) schneiden \(\Pi\) in derselben Geraden. Sind \(\varphi\) und \(\overline\varphi\) die Winkel von \(\xi\) und \(\overline\xi\) mit \(\Pi,\) so gilt die Relation \(\text{tg}\varphi= \sin\overline\varphi\). Die den unendlich fernen Kreis \(C_\infty\) berührenden Ebenen \(\xi\) verwandeln sich in die durch seine Mitte gehenden Ebenen \(\overline\xi\). Die Maßgeometrie mit \(C_\infty\) als absolutem Kegelschnitt heißt weiterhin ``Pseudogeometrie''. Zufolge der Transformation \(\mathfrak T\) entspricht dann einer Schiebung \(\perp\Pi\) um die Strecke \(t\) eine Dilatation um die Strecke \(t\). Als Ebenentransformation ist \(\mathfrak T\) eine Berührungstransformation, so daß\ einer Fläche in \(\mathfrak R\) eine orientierte, gegen \(\Pi\) symmetrische Fläche in \(\overline{\mathfrak R}\) entspricht. Insbesondere führt \(\mathfrak T\) jede Böschungsfläche bezüglich \(\Pi\) wieder in eine solche über. Den Punkten einer Geraden \(G\) entsprechen die Kugeln einer linearen Reihe mit \(G'\) als Ort der Mittelpunkte; den Ebenen durch \(G\) die Tangentenebenen eines orientierten Drehkegels mit der Achse \(G'\) und der Spitze \([G\Pi],\) den \(\infty^2\) Flächenelementen von \(G\) die des Drehkegels. Die Gesamtheit der orientierten Drehkegel (und Drehzylinder) mit Achsen in \(\Pi\) heiße das Gebiet \(\mathfrak D\). Das Gebiet der Raumgeraden ist dann vermöge \(\mathfrak T\) auf das Gebiet \(\mathfrak D\) ein-eindeutig abgebildet. Hierbei geht der Komplex der Pseudominimalstrahlen (i. e. die \(C_\infty\) schneiden) in den Komplex der Minimalstrahlen über. Damit hängt zusammen eine \textit{Lie}sche Verallgemeinerung der Krümmungslinien auf einer Fläche \(\varphi\). Man kann, wie bekannt, die Krümmungslinien von \(\varphi\) als Kurven auffassen, die durch die \(\infty^4\)-Schar der Kugeln auf \(\varphi\) bestimmt werden. Ersetzt man die Kugeln durch eine stetige \(\infty^4\)-Schar von Flächen \(K\), so erweitern sich die gewöhnlichen oder ``Kugelkrümmungslinien'' zu den ``\(K\)-Krümmungslinien''. Die Krümmungslinien von \(\varphi\) in bezug auf die obigen Pseudokugeln heißen deren ``Pseudokrümmungslinien''; die zugehörige Pseudonormalenfläche ist abwickelbar. Bei der allgemeinsten Auffassung sind nach \textit{Lie} die Haupttangentenkurven von \(\varphi\) die Krümmungslinien bezüglich der Mannigfaltigkeit der Strahlen des Raumes. Nunmehr gilt der Hauptsatz, daß\ \(\mathfrak T\) die Haupttangentenkurven von \(\varphi\) in die \(\mathfrak D\)-Krümmungslinien von \(\overline\varphi\) überführt. Dabei besitzt die Normalenfläche längs einer \(\mathfrak D\)-Krümmungslinie die Spurkurve auf \(\Pi\) als Striktionslinie. Danach wird die inverse Transformation \({\mathfrak T}^{-1}\) studiert. Sie führt jede orientierte Kugel \((m, r)\), deren Mitte zu \(\Pi\) angehört, in jenen Punkt über, dessen zyklographischer Bildkreis in \(\Pi(m, r)\) ist, und dies gilt auch für uneigentliche Kugeln; ferner jeden eigentlichen Punkt \(\overline p\) in die orientierte Pseudokugel durch \(\overline p\) mit der Mitte in \(\Pi\), deren Schnittkreis mit \(\Pi\) die Minimalprojektion von \(\overline p\) ist. Die Krümmungslinien einer Fläche \(\overline\varphi\) gehen vermöge \({\mathfrak T}^{-1}\) in die Pseudokrümmungslinien der entsprechenden Fläche \(\varphi\) über. Weiter werden noch die Bilder einer Minimalfläche und einer Fläche konstanter mittlerer Krümmung untersucht. Von allgemeinerem Gesichtspunkt aus lassen sich die Transformationen \({\mathfrak T}\) und \({\mathfrak T}^{-1}\) auch als Abbildung zweier besonderer quadratischer Strahlkomplexe aufeinander auffassen. Zum Schluß\ wird noch eine weitgehende Verallgemeinerung der Transformation \({\mathfrak T}\) angegeben. Zu einem Flächenelement des Raumes ließ\ sich das durch \(T\) zugeordnete konstruieren. Ersetzt man hierbei die Kugel durch eine beliebige Fläche, so tritt die in Rede stehende Verallgemeinerung \({\mathfrak S}\) ein, die den Parallelismus von Ebenen ungeändert läßt, und wiederum eine Berührungstransformation ist.