Über die Teilkurven begrenzter Normalen einer ebenen Kurve und Erzeugungen der ursprünglichen Kurve als Rollkurve. (Q1474035)

Es werde die Normale der gegebenen Kurve \((\Gamma)y=f(x)\) bis zur \(x\)-Achse im Verhältnis \(\lambda :1\) geteilt. Die Teilungspunkte ergeben die Teilkurve \((\Gamma_\lambda).\) Es handelt sich um die Bestimmung der Kurve \(({\mathfrak C}_\lambda),\) die auf \((\Gamma_\lambda)\) abrollen muß, um \((\Gamma)\) als Rollkurve eines festen Punktes zu erzeugen. Die gegebene Kurve sei die Trochoide \[ (1)\quad x = a\varphi - h\sin \varphi,\;y = a - h\cos\varphi. \] Die Teilkurve \[ (2)\quad x_\lambda = a\varphi - \frac {h\lambda}{1+\lambda} \sin \varphi,\;y_\lambda = \frac{a\lambda}{1+\lambda}-\frac {h\lambda}{1+\lambda}\cos \varphi \] ist wieder eine Trochoide. Die Trochoidale \[ x=\frac a{1+\lambda } \cos (1+\lambda)\varphi-\frac h{1+\lambda} \cos \lambda \varphi, y=\frac {a}{1+\lambda} \sin (1+\lambda) \varphi - \frac {h}{1+\lambda} \sin \lambda \varphi \] ist diejenige Kurve, die auf der Trochoide (2 ) abrollen muß, um die Trochoide (1 ) als Rollkurve des Grundkreismittelpunktes zu erzeugen. Besondere Fälle ergeben bekannte, zum Teil vom Verf. früher abgeleitete Sätze. Zu einem ähnlichen Ergebnis gelangt man, wenn man die Trochoidale als Ausgangskurve \((\Gamma)\) wählt. Für die Ellipse als spezielle Trochoidale gilt der Satz: Auf jeder Ellipse kann man eine entsprechende Trochoidale abrollen lassen, deren Mittelpunkt eine Ellipse mit denselben Achsen beschreibt. Bei der Hyperbel ist die Teilkurve wieder eine Hyperbel, auf der Para- oder Hypertrochoiden abrollen, um die ursprüngliche Hyperbel zu erzeugen. Im Falle der Parabel ist die Kurve \((C_\lambda)\) eine gewisse allgemeine Kreisevolvente. Verf. betrachtet schließlich noch einige Beispiele für die Teilkurven der Polarnormalen (vgl. F. d. M. 44, 637 (JFM 44.0637.*), 1913), die ganz ähnliche Resultate ergeben.