Sul problema piano dei tre corpi. Caratteristiche cinetiche del sistema regolarizzante; forza viva e quadrica reciproca. Nota I. (Q1474211)

In der vorstehend angezeigten Arbeit hat der Verf. das Dreikörperproblem einer dynamischen Transformation unterworfen und, sich auf sie stützend, die Möglichkeit einer vollständigen Regularisierung mittels einer geeigneten Wahl \textit{Lagrange}scher Koordinaten erwiesen. Diese Möglichkeit soll jetzt in Wirklichkeit durchgeführt werden, und zwar in drei Artikeln, von denen der erste vorliegt. Über den Inhalt der ganzen Untersuchung spricht sich das Vorwort so aus: ``Ich schicke eine Studie über die kinematische Struktur des transformierten und so eingerichteten Systems voraus, daß\ es unter eine Kategorie holonomer Systeme fällt, auf die sich die gemischten kanonisch-\textit{Euler}schen Gleichungen mit Vorteil anwenden lassen. Dann leite ich in dem ersten Artikel eine reziproke Form der lebendigen Kraft ab, welche die ganze fernere Entwicklung beherrscht. Die zu diesem Zwecke notwendige Rechnung wird so geführt, daß\ die sich folgenden Schritte mühelos überwunden werden, wobei die wirkliche Lösung linearer Gleichungen, die von der allgemeinen Theorie gefordert wird, vermieden ist. In dem zweiten Artikel werden die regularisierten Gleichungen erklärt, zuerst unter der oben erwähnten gemischten Form, dann auch unter der reinen kanonischen Form, und zwar in bezug auf drei verschiedene Vierer \textit{Lagrange}scher Koordinaten. Jeder bestimmt in geometrisch auschaulicher Art die Konfiguration der drei Körper und hat einen eigenartigen Daseinsgrund. Der erste Vierer tritt gewöhnlich in unmittelbarer Analogie mit den in der Dynamik gebräuchlichen Verfahrungsarten auf. Der zweite entspricht an sich dem Bedürfnis nach Symmetrie, die sozusagen durch Zufall abermals in dem Falle der Körper unbeschadet der Beweglichkeit wechselweise besteht (man denke an die \textit{Rodrigues}schen Parameter). Der letzte Vierer endlich, den wir asteroidisch nennen, tritt dann auf, wenn bei der astronomischen oder mechanischen Anlage des Problems einer der drei Körper aus irgendeinem Grunde vor den beiden andern, die sich in symmetrischer Weise verhalten, ausgezeichnet ist. Ein recht wichtiger Grenzfall wird durch das beschränkte Problem geliefert. Es hat mir deshalb nicht unnütz geschienen, mich mit ihm ex professo in dem dritten Artikel zu beschäftigen. Zuerst wird an die übliche Behandlung erinnert und (unter kanonischer Einkleidung) eine Transformation in elliptische entwickelt, die schon von \textit{Thiele} für einen praktischen Zweck benutzt ist (zur zahlenmäßigen Auswertung gewisser periodischer Lösungen). Dann werden die regularisierten Gleichungen des ebenen Problems wieder aufgenommen, und es wird (mit gehöriger Vorsicht) eine der Massen gleich Null gesetzt; dadurch ergibt sich die Spaltbarken des Differentialsystems in zwei und die schließliche Zurückführung auf zwei Freiheitsgrade, und man gewinnt endlich Kontrollmittel, um sich der Übereinstimmung der auf diese Weise erlangten Formeln mit denen zu vergewissern, die auf direktem Wege erhalten werden. Die Untersuchung ist, wie hieraus ersichtlich wird, fast völlig formal; allein man vergesse nicht, daß\ bei ähnlichen Fragen die formalen Fortschritte fruchtbar gewesen sind.''