Sur les figures d'équilibre peu différentes des ellipsoïdes d'une masse liquide homogène douée d'un mouvement de rotation. Quatrième partie: Nouvelles formules pour la recherche des figures d'équilibre. (Mémoire présenté à l'Académie Impériale des Sciences.). (Q1474239)

Dieser vierte und letzte Teil ist dem Studium der analytischen Operationen gewidmet, die man ausführen muß, um das Problem mit einer beliebigen Annäherung zu lösen. In dem ersten Teile (F. d. M. 39, 763 (JFM 39.0763.02), 1908) sind hierzu allgemeine Formeln gegeben, die dann im zweiten Teile (F. d. M. 41, 787 (JFM 41.0787.*), 1910) auf die Untersuchung der aus den \textit{Maclaurin}schen Ellipsoiden abgeleiteten Gleichgewichtsfiguren angewendet sind. Dieselben Formeln sind auch auf die Untersuchung der Figuren anwendbar, die aus den \textit{Jacobi}schen Ellipsoiden stammen, obschon die Rechnungen dann verwickelter werden. Mit diesen Rechnungen hätte sich die gegenwärtige Arbeit befassen sollen. Statt dies aber unter Ausgang von den früheren Formeln zu tun, entwickelt der Verf. ein neues System von Formeln, die sich mit derselben Einfachheit auf den Fall der \textit{Maclaurin}schen Ellipsoide anwenden lassen wie auf den der \textit{Jacobi}schen, und die gleichzeitig darin überlegen sind, daß\ sie eine wichtige Eigenschaft des Problems ans Licht fördern, eine Eigenschaft, die in dem zweiten Teile als wahrscheinlich bezeichnet wurde, ohne daß\ sie dort allgemein bewiesen werden konnte. In den früheren Teilen wurden die Halbachsen des betrachteten Ellipsoids bezeichnet mit \(\sqrt {\varrho+1}, \sqrt {\varrho+q}, \sqrt \varrho;\) deshalb konnten die rechtwinkligen Koordinaten eines Punktes der gesuchten Gleichgewichtsfigur dargestellt werden durch: \[ (1) x=\sqrt {\varrho + 1+\zeta}\cdot \sin \theta\cos \psi, \;y=\sqrt {\varrho+q+\zeta} \cdot \sin \theta\sin \psi, \;z=\sqrt {\varrho+\zeta} \cdot \cos \theta, \] wo \(\zeta\) eine zu bestimmende Funktion von \(\theta\) und \(\psi\) ist, deren absoluter Betrag als hinreichend klein vorausgesetzt wird. Wenn \(\varrho\) und \(q\) gewissen Bedingungen genügen, so existiert, wie früher gezeigt ist, eine Funktion \(\zeta\), die nichtellipsoidischen Gleichgewichtsfiguren entspricht. Diese Funktion kann eine gewisse Anzahl willkürlicher Parameter enthalten, wenn aber bestimmte Voraussetzungen hinsichtlich des Volumens und der Lage der Figur in bezug auf die Koordinatenachsen gemacht werden (von denen die \(z\)-Achse als Rotationsachse dient), so kommen jene Parameter auf einen einzigen zurück, für den man eine Größe nehmen kann, die eines beliebigen reellen Wertes fähig ist, wobei der Nullwert dem betrachteten Ellipsoid entspricht. Es hat sich gezeigt, daß\ diese Größe so gewählt werden kann, daß\ die Funktion \(\zeta\) nach den ganzen und positiven Potenzen des fraglichen Parameters entwickelbar ist, solange sein absoluter Wert klein genug ist. Wird dieser Parameter mit \(\alpha\) bezeichnet, so kann man also, wenn \(| \alpha| \) klein genug ist, \(\zeta=\zeta_1\alpha +\zeta_2\alpha^2 +\zeta_3\alpha^3+ \cdots\) setzen, wo \(\zeta_1, \zeta_2, \cdots\) Funktionen von \(\theta\) und \(\psi\) sind, die keinen willkürlichen Parameter enthalten. Von diesen Funktionen wird die erste sofort erhalten; sie stellt sich als eine rationale Funktion der Argumente: \[ (2) \qquad \sin \theta \cos \psi,\;\sin \theta \sin \psi,\;\cos \theta \] dar; ihr Nenner \(H\) ist: \[ H = \varrho (\varrho + q) \sin^2 \theta \cos^2 \psi + \varrho (\varrho + 1) \sin^2 \theta \sin^2 \psi + (\varrho +1)(\varrho + q) cos^2 \theta. \] Was die folgenden Funktionen anlangt, so gelten für ihre Bestimmung Gleichungen, aus denen man für jeden Wert des Index \(i\) den Wert von \(\zeta_i\) ableiten kann, wenn vorher schon \(\zeta_1, \zeta_2, \dots, \zeta_{i-1}\) bestimmt sind. Diese Funktionen erscheinen zunächst in der Gestalt von unendlichen Reihen. Wenn man sie aber der Folge nach betrachtet, so macht man bald die Bemerkung, daß\ diese Reihen summierbar sind mit Hilfe rationaler Funktionen der Argumente (2), deren Nenner Potenzen von \(H\) sind. Dies führt schließlich zu Ausdrücken von der Form \(\zeta_i = \varPhi_i/H^i,\) wo \(\varPhi_i\) eine ganze rationale Funktion der Argumente (2) ist. In dem zweiten Teile wurde dies in voller Allgemeinheit betreffs derjenigen Figuren den Gleichgewichts, die Umdrehungskörper sind, bewiesen. Was andere Gleichgewichtsfiguren betrifft, die aus den \textit{Maclaurin}schen Ellipsoiden hervorgehen, so hat der Verf. es nicht allgemein beweisen können; er hat sich darauf beschränkt, die drei ersten Glieder der Reihe \(\zeta_2, \zeta_3, \zeta_4, \dots\) zu berechnen. Dabei hat sich gezeigt, daß\ ihre Ausdrücke die angeführte Form haben. Ganz entsprechende Umstände treten auch in dem Falle der aus den \textit{Jacobi}schen Ellipsoiden hervorgehenden Gleichgewichtsfiguren auf. Aber der allgemeine Beweis, der sich nur auf die Betrachtung der im ersten Teile entwickelten Formeln stützt, ist dann noch schwierger als in dem Falle der aus den \textit{Maclaurin}schen Ellipsoiden hervorgehenden Gleichgewichtsfiguren. Beim Nachdenken über diesen Gegenstand hat der Verf. bemerkt, daß\ die Schwierigkeit in der Form der Gleichungen ihren Ursprung hat, die zur Darstellung der Oberfläche der Gleichgewichtsfigur gewählt waren. Wenn man in den Gleichungen (1) \(\zeta\) durch eine Konstante ersetzt, so stellen sie ein zu dem betrachteten Ellipsoid konfokales Ellipsoid dar. Jene Form war hauptsächlich beibehalten worden, damit die Auswertung gewisser Integrale, die im Laufe der Rechnungen vorkommen, leichter vonstatten gehe. Nichts hindert aber, die Oberfläche der Gleichgewichtsfigur durch Gleichungen, von einer ganz andern Form darzustellen. Man könnte z. B. dazu Gleichungen wählen, die beim Ersetzen der unbekannten Funktion durch eine Konstante Gleichungen eines zu dem betrachteten Ellipsoid ähnlichen Ellipsoid ergeben. Von derartigen Gleichungen ausgehend, kommt man zu sehr einfachen Formeln, und die Erforschung dieser Formeln führt zu einem allgemeinen Beweise der angegebenen Eigenschaft der oben betrachteten Funktionen \(\zeta_i.\) Der Entwicklung dieser Formeln ist die gegenwärtige Abhandlung gewidmet; in ihr findet man also ein neues Verfahren zur Untersuchung der Gleichgewichtsfiguren und den allgemeinen Beweis, welcher an der Forschung fehlte, von der der zweite Teil handelte.