On certain infinite series. (Q1474504)

Im Anschluß\ an die an S. 1288 besprochene Arbeit werden hier Reihen ausgewertet bzw. miteinander in Zusammenhang gebracht, die mit Thetareihen nahe verwandt sind. Es gilt z. B. die Formel: \[ \begin{multlined} \sum_{k=0}^\infty (-1)^k (2k+1) \left\{ \frac {\alpha e^{(2k+1)^2in\alpha}}{\text{cosh} (2k+1)\alpha} -\frac{\beta e^{-(2k+1)^2in\beta}}{\text{cosh} (2k+1)\beta}\right\}\\ =-\frac 1{2n} \sqrt {\frac \pi{2n}}\varSigma\varSigma (-1)^{\frac {\mu+\nu}2} \left\{ \mu (1+i)\sqrt\alpha -\nu (1- i)\sqrt\beta\right\} \times e^{-(\pi \mu\nu-i\mu^2 \alpha +i\nu^2\beta)/4n} \left(\alpha\beta =\frac{\pi^2}4; \;\mu,\nu =1, 3, 5, \dots \right).\end{multlined} \]