Notes on some points in the integral calculus. XXXIX. (Q1474529)

Als Beispiel eines bedingt konvergenten Doppelintegrales wird das Integral \[ (1) \qquad\int_0^\infty \int_0^\infty \frac {\text{exp}\{mi \sqrt{ax^2+2hxy+by^2}\}}{(ax^2+2hxy+by^2)^s} dx dy \] betrachtet, unter der Voraussetzung, daß\ \(m, a, b, ab - h^2\) und \(s\) positiv sind. Es wird gezeigt, daß\ dann die notwendige und hinreichende Bedingung für die Konvergenz des Doppelintegrales (1) oder eines der iterierten Integrale, z. B. \[ \int_0^\infty dx \left( \int_0^\infty \frac { \text{exp}\{ mi \sqrt{ax^2+2hxy+by^2}\} }{ (ax^2+2hxy+by^2)^s } dy\right) \] die folgende ist: \(s > 0,\) wenn \(h > 0\); \(s > \frac 14\) wenn \(h \leqq 0.\) Beide Integrale haben dann denselben Wert. Das Doppelintegral ist hier als Limes des Integrales über \(0 \leqq x \leqq H, 0 \leqq y \leqq K,\) wenn \(H\) und \(K\) gleichzeitig gegen \(+ \infty\) streben, zu verstehen. Betrachtet man (1) als Limes des Integrales über \(0 \leqq x^2 + y^2 \leqq R^2\), \(x \geqq 0\), \(y \geqq 0,\) so ist es konvergent dann und nur dann wenn \(s > \frac 14,\) ausgenommen wenn \(a=b\) und \(h=0.\) In diesem Fall konvergiert es für \(s > \frac 12.\) Es werden ferner folgende Formeln bewiesen: \[ \int_0^\infty\int_0^\infty \frac {\cos [m\sqrt {x^2+y^2}]}{\sqrt {x^2+y^2}} dx dy =0, \] \[ \int_0^\infty\int_0^\infty \frac {\sin [m\sqrt {x^2+y^2}]}{\sqrt {x^2+y^2}}\;dx dy =\frac \pi{2m}, \] \[ \int_0^\infty\int_0^\infty \frac {\sin [m\sqrt {ax^2+2h xy + by^2}]}{\sqrt {ax^2+2h xy + by^2}}\;dx dy =\frac \pi{2m \sqrt{ab- h^2}}. \] Endlich wird gezeigt, daß\ \(\sum_0\sum_0 \frac {\sin (\alpha\sqrt {m^2+n^2})}{\sqrt {m^2+n^2}}\) gegen denselben Wert als Doppel- und als iterierte Reihe konvergiert, wenn \(0 < \alpha < 2\pi.\)