Notes on some points in the integral calculus. XLI. (Q1474530)

Die erste Note gibt u. a. folgendes Beispiel für eine Funktionenreihe, die für \(x\geqq 0\) eine stetige Funktion darstellt und die für \(0 \leqq x \leqq \xi \) nicht gliedweise integriert werden kann: \[ \varPhi(x) =\sum_{n=1}^\infty (e^{-anx}-e^{-bn^2x^2}) \quad\left( b=\frac {a^2\pi}4\right). \] Die gliedweise Integration ergibt \[ \int_0^\infty \varPhi (x)dx=0, \] was gewiß\ nicht richtig ist. Für \(a = 2\) ist z. B. \[ \int_0^\infty \varPhi(x)dx=\frac {\log \pi-\gamma}4. \] In der zweiten Note werden verschiedene Sätze über konvergente Integrale und entsprechende über konvergente Reihen bewiesen. Z. B.: Aus der Konvergenz von \(\varSigma a_n^2\) folgt die von \[ \varSigma\left(\frac {a_1+a_2+\cdots+a_n}n\right)^2. \] Oder der entsprechende Satz für Integrale: Aus der Konvergenz von \[ \int_a^\infty f^2dx \] folgt die von \[ \int_a^\infty\left(\frac Fx\right)^2dx, \text{ wobei }F(x)=\int_a^x f(t) dt (a>0). \]