Contribution à l'étude des fonctions \(\varTheta\) de degré supérieur. (Q1474669)

Verf. bestimmt diejenigen eindeutigen Funktionen der komplexen Variablen \(x_\nu,\) die der Funktionalgleichung \[ f(x_1+\omega, \quad x_2+x_1, \dots,x _n+x_{n-1})=f(x_1, x_2, \dots, x_n) \] genügen, wobei \(\omega\) eine Konstante ist. Solche Funktionen spielen beim Studium von Thetafunktionen mehrerer Veränderlicher eine Rolle. (Vgl. nachst. Ref.) Eine elementare Rechnung führt auf folgendes Verfahren, welches sämtliche Lösungen liefert: Es sei \[ F (y_1, y_2, y_3, \dots, y_n) \] irgendeine eindeutige Funktion der Argumente, die in bezug auf \(y_1\) periodisch ist mit der Periode \(\omega.\) Man ersetze hier \(y_1, y_2, \dots, y_n\) durch die Ausdrücke in \(x_1, x_2, \dots, x_n\) welche sich aus den Gleichungen \[ x_\nu=y_\nu +y_{\nu-1}X_1+y_{\nu-2}X_2+\cdots+y_2 X_{\nu- 2}+\omega X_\nu \] ergeben, wobei \[ X_\nu=\frac {x_1(x_1-\omega)\cdots(x_1-\overline{\nu- 1}\omega)}{\nu!\omega^\nu} \] ist \((\nu =1, 2, \dots, n).\) Dann ist \[ F(y_1, y_2, y_3, \dots, y_n) = f (x_1, x_2, \dots ., x_n) \] eine Lösung der obigen Gleichung. Als Beispiel werden sämtliche Polynomlösungen bestimmt.