Sur une deuxième forme des fonctions \(\varTheta\) du quatrième degré. (Q1474670)

Es sei \[ F(x, y, z, t) = e^{\alpha t}\varTheta \left(\begin{matrix} \omega, x, y, z, \\ \alpha, \beta, \gamma, \delta\end{matrix} \right), \] wobei wie üblich \[ \varTheta \left(\begin{matrix} \omega, x, y, z, \\ \alpha, \beta, \gamma, \delta\end{matrix} \right)=\sum_{n=-\infty}^\infty e^{\omega\varphi(n)+x\varphi_1(n)+y\varphi_2(n) +z\varphi_3(n)} \] und \[ \varphi (\lambda)=\alpha \left(\begin{matrix} \lambda \\4\end{matrix} \right) + \beta\left(\begin{matrix} \lambda \\3\end{matrix} \right) + \gamma \left(\begin{matrix} \lambda \\2\end{matrix} \right) + \delta \left(\begin{matrix} \lambda \\ 1 \end{matrix} \right), \quad \varphi_\nu (\lambda)=\varphi_{\nu-1} (\lambda+1)-\varphi_{\nu- 1}(\lambda)\quad (\nu=1, 2, 3) \] gesetzt wird. Dann ist \[ F(x+\omega, y+x, z+y, t+z) =F(x, y, z, t). \] Die Funktion \(F\) erfüllt somit die in der vorst. besprochenen Note behandelte Funktionalgleichung. Durch Anwendung der Ergebnisse dieser Note gelangt der Verf. zu einer Transformationsformel der Thetafunktion.