New expressions for Riemann's functions \(\xi(s)\) and \(\Xi (t)\). (Q1474681)

Es werden Integralformeln abgeleitet, in denen \(\xi (s)\) bzw. \(\Xi (t)\) unter dem Integralzeichen oder außerhalb dieses vorkommt. Als Beispiele seien folgende Formeln angeführt: Es sei \[ \alpha^{\frac 14} g(\alpha)=\frac 1{1+t^2}+4\alpha \int_0^\infty \sum_{\nu=0}^\infty \frac {(- \alpha)^\nu}{\nu!}\frac {x^{2\nu}}{(4\nu+3)^2+t^2}\cdot \frac {x\,dx}{e^{2\pi x}-1}, \] dann ist \[ \frac {\pi^{-\frac 34}}{4t} \left| \Gamma \left(\frac {-1+it}4\right)\right| ^2 \Xi \left(\frac 1t\right) \sin \left(\tfrac t8\, \log \tfrac \beta\alpha \right)=g(\alpha)- g(\beta) \tag{*} \] \[(\text{Re}\,\alpha, \text{Re}\, \beta >0; \alpha\beta =\pi^2, \quad t\text{ ist reell}). \] Ferner \[ \frac 1{4\pi^{\frac 32}}\int_0^\infty \left| \Gamma\left(\frac {-1+it}4\right)\right|^2\Xi \left(\frac t2\right)\cos nt \,dt=e^{-n}-4\pi e^{-3n}F(e^{(- 2n)}, \tag{**} \] wobei \[ F(\alpha)=\int_0^\infty \frac {xe^{-\pi a^2x^2}}{e^{2\pi x}-1} \,dx \] gesetzt wird. Die Formeln werden mit elementaren Reihenentwicklungen und mit Hilfe des Fourierschen Theorems bewiesen. Hardy fügt hinzu, daß\ er unter Heranziehung der Mellinschen Formel einen neuen Beweis für die Formel (**) gefunden habe. Er teilt ferner folgende Formel -- ohne Beweis -- mit: \[ \int_0^\infty \frac {\Xi \left(\frac t2\right)}{1+t^2}\frac {\cos nt}{\cos \text{h}\frac {\pi t}2} \,dt =\tfrac 14 \,e^{- n}\left(2n-\frac \gamma{2}+\frac {\log \pi}2 +\log 2\right) + \frac {e^n}2\;\int_0^\infty \frac {\Gamma'(1+t)}{\Gamma (1+t)} e^{-\pi t^2 e^{4n}}\,d\alpha. \]