Über unendlich kleine isometrische Verbiegungen einer Fläche mit höherer als erster Näherung. (Q1474804)

Die Theorie der isometrischen Flächenverbiegung mit Annäherung von erster Ordnung ist bekannt und insbesondere durch \textit{Weingartens} berühmte Arbeit im 100. Bande des \textit{Crelle}schen Journals vollständig durchgeführt worden. In der vorliegenden Arbeit wird die Annäherung bis zur zweiten Ordnung untersucht. Sind \(x, y, z\) als Koordinaten einer Fläche gegeben, etwa als Funktionen zweier Parameter \(u, v\), so handelt es sich darum, die Funktionen \(x_1, y_1, z_1, x_2, y_2, z_2\) von \(u, v\) derart zu bestimmen, daß\ für \[ x' = x + \varepsilon x_1 + \varepsilon^2 x_2 +\cdots, \dots \] die Gleichung \[ dx^{\prime2}+ dy^{\prime2}+dz^{\prime2}=dx^2+dy^2+dz^2 \] bis auf Glieder von der Ordnung \(\varepsilon^3\) besteht. Die Lösung der Aufgabe gelingt mit Hilfe der \textit{Weingarten}schen Verschiebungsfunktion durch Intagration einer linearen partiellen Differentialgleichung zweiter Ordnung mit zweitem Glied, von der man ein partikuläres Integral kennen muß, während zugleich die entsprechende homogene Differentialgleichung schon integriert vorliegt. Bemerkenswert ist, daß\ sich auch für unendlich kleine Verbiegungen höherer Ordnung der Zusammenhang mit der Theorie der Flächen, die einander durch Orthogonalität der Linienelemente zugeordnet sind, aufrecht erhalten läßt. Zum Schluß\ der Arbeit wird als Beispiel die infinitesimale Deformation des hyperbolischen Paraboloids ausgeführt und die allgemeinste Fläche angegeben, die bis auf Größen dritter Ordnung mit ihm isometrisch ist.