Transformations of surfaces of \textit{Guichard} and surfaces applicable to quadrics. (Q1474814)

Unter \textit{Guichard}schen Flächen werden solche paarweise zugeordneten Flächen \(F, \overline{F}\) verstanden, deren Krümmungslinien dieselbe sphärische Abbildung haben und zwischen deren Hauptkrümmungsradien \(\varrho_1, \varrho_2, \overline{\varrho_1}, \overline{\varrho_2}\), die Beziehung \[ \varrho_1\overline{\varrho_2} + \varrho_2\overline{\varrho_1} = \text{const}(\neq 0) \] besteht. \textit{Calapso} hat zwei Klassen unterschieden, je nachdem \[ L\sqrt {G/E}- N\sqrt {E/G} =\sqrt {G\mp E} \] ist. In der vorliegenden Arbeit stellt der Verf. Transformationen der Flächen auf in dem Sinne, daß\ eine solche Fläche und ihre Transformierte als Hüllflächen einer zweifach unendlichen Schaar von Kugeln auftreten, wobei die Krümmungslinien einander entsprechen. Diese Transformationen gehören zu den bekannten \textit{Darboux}schen der isothermen Flächen und hängen dadurch mit den Transformationen der Biegungsflächen der Flächen zweiten Grades zusammen. Aus den Ergebnissen, die sich hier nicht ohne weiter ausholende Betrachtungen wiedergeben lassen, mag der Vertauschbarkeitssatz der gefundenen Transformationen \(T_n\) (mit einem willkürlichen Parameter \(n\)) der \textit{Guichard}schen Flächen angeführt werden. Sind \(F_1\) und \(F_2\) zwei aus \(F\) durch die Transformationen \(T_{n_1}\) und \(T_{n_2} (n_1 \neq n_2)\) erhaltene Flächen, dann gibt es genau eine Fläche \(F'\), die aus \(F_1\) durch eine Transformation \(T_{n_2}^prime\) und aus \(F_2\) durch eine Transformation \(T_{n_1}^prime\) erhalten werden kann. Die Bestimmung von \(F'\) erfordert übrigens nur algebraische Prozesse. Anwendungen auf die Flächen konstanten Krümungsmaßes und andere spezielle Fälle beschließen die Arbeit.