Über eine Transformation von \textit{Luigi Bianchi}. (Q1474815)

Die vorliegende Arbeit enthält eine Reihe von Untersuchungen und Verallgemeinerungen, die sich auf die \textit{Bianchi}sche Transformation der Biegungsflächen der Flächen zweiten Grades beziehen. Der erste Teil beschäftigt sich mit den Flächenpaaren \(S, S'\), die einander durch gemeinsame Tangenten zugeordnet sind, wobei diese ein \(W\)-Strahlensystem bilden. Solche Flächen gestatten infinitesimale Verbiegungen, wobei jede als eine Verschiebung in Richtung der Normalen der andern Fläche (in entsprechenden Berührungspunkten der gemeinschaftlichen Tangenten) aufzufassen ist. Ist \(S\) gegeben, so bestimmt \(S'\) sich im wesentlichen durch Integration einer partiellen Differentialgleichung zweiter Ordnung \[ \frac{\partial^2}{\partial u \partial v} \log \zeta = \frac {\partial}{\partial v} \left( \zeta \left\{ \begin{matrix} 11\\2\end{matrix} \right\} \right) - \frac {\partial}{\partial u} \left( \frac {1}{\zeta} \left\{ \begin{matrix} 22\\ 1\end{matrix}\right\} \right), \] falls \((u, v)\) das Netz der Asymptotenlinien bedeutet. Anwendungen auf geradlinige Flächen und Flächen zweiter Ordnung beschließn diesen ersten Teil der Arbeit. Der zweite Teil beschäftigt sich mit einem Grenzfall, wo die Fläche \(S'\) in eine Kurve oder in eine einfach unendliche Kurvenschar ausartet. Man kommt hier auf das von \textit{Bianchi} formulierte Problem, wann \(\infty^3\) Fazetten (Punkt mit zugehöriger Berührungsebene), die zu \(S\) zugeordnet sind, bei der Verbiegung von \(S\) zu \(\infty^1\) Flächen angeordnet werden können. Der dritte Teil wendet die Ergebnisse auf die Flächen zweiten Grades an.