Über Flächen mit unbestimmten Direktrixkurven. (Q1474821)

Man betrachte fünf Tangenten einer beliebigen Raumkurve; sie bilden im allgemeinen einen linearen Komplex, der einer bestimmten Grenze zustrebt, wenn die fünf Tangenten sich einander unbeschränkt nähern. Für zwei durch einen Punkt einer Fläche gehende Asymptotenkurven bilden die gemeinsamen Strahlen dieser beiden oskulierenden linearen Komplexe ein Strahlensystem erster Ordnung und erster Klasse; von dessen Leitlinien eine in der Berührungsebene des betreffenden Flächenpunktes liegt, während der andere durch diesen Flächenpunkt selbst hindurchgeht. Auf diese Weise erhält man für jede Fläche zwei Strahlensysteme, die der Verf. Direktrixkongruenzen erster und zweiter Art nennt. Zu jedem dieser Strahlensysteme gehören zwei abwickelbare Flächen, und in jedem Flächenpunkt entsprechen ihnen je zwei Fortschreitungsrichtungen, und also auf der Fläche zwei Kurvennetze. Aber diese fallen allgemein in eins zusammen. Diese Kurvennetze, die mit den Direktrissystemen in derselben Weise zusammenhängen, wie das Netz der Krümmungslinien mit dem System der Flächennormalen, werden durch eine Differentialgleichung der Form \[ bLdu^2 + 2Mdudv - a' Ndv^2 = 0 \] definiert, wo \(a'\) und \(b\) zu den Koeffizienten gewisser partieller Differentialgleichungen gehören, durch die die Fläche projektiv erklärt werden kann, und \(u, v\) Parameter der Asymptotenlinien bedeuten. Man vgl. hierüber des Verf. Abhandlungen Projective Differential Geometry of Curved Surfaces in den American M. S. Trans. 8, 9, 10, 1907-09 (vgl. vorst. Ref.). In der vorliegenden Arbeit werden die hauptsächlichsten Eigenschaften der Flächen untersucht, für die die Koeffizienten der obigen Differentialgleichung identisch verschwinden.