Über zwei mit einem Flächenpunkte verknüpfte Flächen zweiter Ordnung. (Q1474824)

Es sei \((u, v)\) ein nicht konjugiertes Kurvennetz auf einer Fläche ; man ziehe, vom Punkte \((u, v)\) ausgehend, durch ihn und noch zwei benachbarte Punkte einer Parameterlinie der Schar \(u\) die Tangenten an die kreuzenden Kurven der andern Schar \(v\). Sie liegen auf einer geradlinigen windschiefen Fläche, die im Grenzfall in ein einschaliges Hyperboloid übergeht. Diesem entspricht ein zweites, das auf gleiche Weise durch Vertauschung von \(u\) mit \(v\) erhalten wird. Auf diese Flächen zweiten Grades hatte zuerst \textit{Lie} aufmerksam gemacht, \textit{P. Franck} hat sie zuerst bestimmt. (Vgl. nachst. Ref.) In dem vorliegenden Aufsatze werden die Gleichungen dieser beiden ``oskulierenden'' Hyperboloide in sehr einfacher Form aufgestellt. Es seien \(E, F, G, L, M, N\) die Fundamentalgrößen der gegebenen Fläche, \(T^2 = EG - F^2; {\mathfrak X, Y, Z}\) Parallelkoordinaten, die sich auf den Flächenpunkt als Nullpunkt, die beiden Tangenten an die Parameterkurven als \(\mathfrak X\)- und \(\mathfrak Y\)-Achse sowie die Flächennormale als \(\mathfrak Z\)-Achse beziehen. Dann ist die Gleichung des einen Hyperboloids \[ LMT^2 \frac {{\mathfrak X}^2}{E}+ 2M^2 T^2 \frac {{\mathfrak XY}}{\sqrt E \sqrt G} + (M_uT -T_uM) T\;\frac {{\mathfrak XZ}}{\sqrt E} + M(G_uF- E_v G) \frac {{\mathfrak YZ}}{\sqrt G}+\left[ M(LG-MF) +\frac 12 (G_{uu} F - E_{uv} G)-\frac 12 G_u (E_v - F_u)+\frac {1}{4T^2}(E_vG-G_uF)(4TT_u-E_vF+G_uE)\right] {\mathfrak Z}^2 -2MT^2 {\mathfrak Z} = 0. \] Die des andern geht daraus durch Vertauschung von \(u\) mit \(v, E\) mit \(G, \mathfrak X\) mit \(\mathfrak Y\) hervor, außerdem haben \(L, M, N\) und \(\mathfrak X\) die Zeichen zu wechseln. Beide Hyperboloide fallen dann und nur dann zusammen, wenn das Netz \((u, v)\) aus den Asymptotenlinien der Fläche besteht.