Zum Problem des Talwegs. (Q1474835)

Die Arbeit enthält zunächst eine Kritik der bisherigen Erklärungen des Talwegs, gibt sodann einige vorbereitende Sätze aus der Differentialgeometrie der Geländeflächen, sodann eine analytische Definition des Talwegs und der Wasserscheide, endlich spezielle Beispiele. Ist \(z = f (x, y)\) die Gleichung der Geländefläche und \(\vartheta (x, y)\) ein integrierender Divisor des Differentialausdruckes \[ qdx- pdy = \vartheta \cdot dw, \;\left( p=\frac{\partial z}{\partial x},\;q=\frac{\partial z}{\partial y}\right) \] der, gleich Null gesetzt, die Differentialgleichung der Fallinien liefert, so betrachte man alle Kurvenzweige \(\theta (x, y) = 0\), für die \(\vartheta \cdot dw\) verschwindet, ohne daß\ die Funktionaldeterminante \[ \frac{\partial (w, \theta)}{\partial (x, y)} \] identisch Null ist. Solche Kurven werden ``ausgezeichnete'' Fallinien genannt, im Gegensatz zu den gewöhnlichen \(w(x, y)=\text{const.}\). Talweg und Kammweg werden zunächst definiert als die ausgezeichneten Fallinien, auf denen es mindestens einen Mündungspunkt gewöhnlicher Falli Linien gibt, d. h. einen Punkt, in dem eine gewöhnliche Fallinie berührend einmündet, einschließlich asymptotischen Annäherns im Unendlichen. Die Bedingung dafür ist \[ \frac {\partial \theta}{\partial x}: \frac {\partial\theta}{\partial y}=-\frac{q}{p}. \] Talweg unterscheidet sich vom Kammweg durch das (positive) Vorzeichen des invarianten Ausdruckes \[ T=\frac{q^2 r-2pqs+p^2 t}{p^2+q^2}. \] Es gibt Geländeflächen, auf denen Linien der Eigenschaft vorkommen, daß\ sie nur auf der einen Seite als Talwege oder Kammwege betrachtet werden können, oder auch solche, die einseitig Talwege, anderseitig Kammwege darstellen.