Sulla classificazione delle superficie algebriche e particolarimente sulle superficie di genere lineare \(p^{(1)}=1\). (Q1474874)

``Das fundamentale Problem der Theorie der algebraischen Flächen ist ihre Klassifikation, d. h. die wirkliche Aufstellung der gegenüber den birationalen Transformationen verschiedenen \textit{Familien} der Flächen, so daß\ jede Familie durch eine Gruppe ganzer invarianter Charaktere charakterisiert wird und eine kontinuierliche Mannigfaltigkeit von Klassen enthält, die von einer gewissen Anzahl von Parametern (Module) abhängen. Es lohnt sich zu prüfen, welche auf dieses Klassifikationsproblem bezüglichen Resultate in den Untersuchungen der letzten 20 Jahre enthalten sind. Dies ist das Ziel der vorliegenden Note, in der ich zu folgenden Ergebnissen komme: Die Klassifikation der algebraischen Flächen führt natürlicherweise zur Betrachtung des zwölffachen Geschlechts: \(P_{12}\). Für \(P_{12}=0\) ergibt sich die Familie der Linienflächen. Für \(P_{12}=1\) ergeben sich Flächen, die kanonische oder mehrkanonische Kurven von der Ordnung 0 besitzen. (Dann sind alle \(P_1 = 0,1\).) Für \(P_{12}> 1\) ergeben sich Flächen mit wirklichen kanonischen oder mehrkanonischen Kurven von der Ordnung \(>0\). Für \(P_{12}\geqq 1\) ist das virtuelle Geschlecht \(p^{(1)} \geqq 1\) (während man bekanntlich \(p^{(1)} \leqq 1\) für Linienflächen, d. h. für \(P_{12} = 0\) annehmen kann). Jedem Wert des virtuellen Geschlechts \(p^{(1)} >1\) entsprechen \textit{endlich viele Familien} von Flächen. Für \(p^{(1)} =1\) ergeben sich \textit{abzählbar unendlich viele Familien}, die von \textit{zwei unabhängigen ganzen Zahlen} abhängen; solche Familien sind dadurch charakteristisch, daß\ sie ein Büschel elliptischer Kurven enthalten, außer wenn \(p_g = P_4 = 1\); in diesem Falle ergeben sich Flächen mit den geometrischen Geschlechtern \[ p_g=P_1=P_2 = \cdots = 1 \] und dem numerischen Geschlecht \[ p_a = 1\;\text{oder}\;p_a = - 1, \] die wieder von einer beliebigen ganzen Zahl (und 19 bzw. 3 Moduln) abhängen und im \textit{allgemeinen} keine Büschel elliptischer Kurven enthalten.'' Insbesondere enthält die Arbeit Entwicklungen über Flächen mit \(p^{(1)} =1\) die sich auf den Fall regulärer Flächen \((p_g = p_a)\) beziehen.