Sulla connessione delle superficie razionali reali. (Q1474884)

Diese Arbeit schließt sich an eine andere desselben Verf. an (F. d. M. 43, 1107 (JFM 43.1107.*), 1912). Es werden Methoden entwickelt, um den ``Zusammenhang'' irgend einer reellen rationalen Fläche \(F\) zu bestimmen; auf diese Weise gelingt die Zusammenfassung der Eigenschaften, die einmal von der ebenen Abbildung der Fläche \(F\) herrühren, andererseits von deren invarianten Charakteren. Als die beiden Hauptgesichtspunkte werden hervorgehoben: 1. Welchen Einfluß\ üben auf die in Rede stehenden Eigenschaften die reellen Singulairitäten von \(F\) aus? 2. Welcher Sinn ist dem Ausdruck: ``Äquivalenz von Flächen hinsichtlich ihres Zusammenhanges'' beizulegen? Oder nach \textit{F. Klein} genauer: Welches ist die Transformationsgruppe, durch die die Geometrie des Zusammenhanges charakterisierbar ist? Von invarianten Charakteren kommen besonders zwei in Betracht: a) ein qualitativer: die Einseitigkeit oder Zweiseitigkeit von \(F\); b) ein numerischer: die Ordnung \(Z\) des Zusammenhanges. Die Hauptaufgabe des Verf. besteht in der Bestimmung der beiden Charaktere a), b) für jede rationale, reelle Fläche \(F\), deren ebene Abbildung bekannt ist. Als Hilfsmittel dient es, der Fläche \(F\) eine reelle Transformierte \(\Phi\) zuzuordnen, deren Zusammenhang sich direkt bestimmen läßt; von hieraus wird auf den Zusammenhang von \(F\) geschlossen. Um ein Hauptergebnis vorwegzunehmen, so sind alle einblättrigen \(F\) (die reell auf eine reelle Ebene \(\pi\) abbildbar sind) einseitig, mit Ausnahme der beiden Typen \(Z = 0\) (Kugel) und \(Z = 2\) (Torus). Neben dem Zusammenhange \(Z\) spielt die \textit{Zeuthen-Segre}sche Invariante \(I\) eine besondere Rolle: es ist \(I \equiv Z\mod 2\); oder genauer: \(I + Z = 2 (\overline{\varrho}-1)\), wo \(\overline{\varrho}\) die ``Basiszahl'' ist, d. i. die Anzahl der reellen, linear unabhängigen Kurven auf \(F\). In \S\,1 wird die Abbildung von \(F\) auf \(\pi\) auf eine gewisse Normalform gebracht. Dem System der ebenen Schnitte von \(F\) entspreche in \(\pi\) ein lineares \(\infty^r\)-System \(S\). Indem \(S\) einer geeigneten ``normalen'' birationalen Transformation \(T\) unterworfen wird, so daß\ das transformierte System \(L\) u. a. frei von Fundamentalkurven wird, erzielt man die gewünschte Normalabbildung von \(F\) auf \(\pi\). Hierbei bedürfen nur zwei gewisse Ausnahmefälle einer gesonderten Untersuchung. Die Systeme \(L\) zerfallen in vier Typen, einen von rationalen Kurven, zwei von elliptischen und einen von Kurven des Geschlechtes 2. In \S\,2 werden allgemeine Erörterungen über den Zusammenhang von \(F\) angestellt; hierbei ist \(F\) reell und endlich oder unendlich, in einem euklidischen Raume \(S_n\) von \(n \geqq 3\) Dimensionen gelegen, und ein- oder mehrblättrig Ihre Darstellung ist \((1) x_i = \vartheta_i (u, v) (i = 1, \dots, n)\), wo die \(\vartheta_i\) reelle Funktionen der reellen Variablen \(u, v\) sind, eindeutig, endlich, und ableitbar in den Punkten eines gewissen Bereiches \(R\) der Ebene \((u, v)\). Im besonderen sei \(R\) ein Gebiet \(A\), das einfach zusammenhängend ist, \(E\) die Gesamtheit der Punkte von \(S_n\), die vermöge (1) den Punkten von \(A\) entsprechen, und \(C\) die dem Rande \(c\) von \(A\) entsprechenden. Dann heißt \(E\) ein Blatt (Elementarstück) von \(S_n\) mit dem Rande \(C\). Behufs analytischer Darstellung von \(E\) setze man \[ (2)\;\eta_i = \vartheta_i (u, v), \] wo die \(\eta_i\) lineare gebrochene Funktionen der \(x_i\) mit gemeinsamem Nenner bedeuten; durch \(y_i = \eta_i(x)\) werden die beiden Räume \(S_n, S_n^prime\) kollinear aufeinander bezogen. Daraufhin lassen sich zwei, zu \(S_n\) gehörige Elementarstücke \(E, E_1\) miteinander in bezug auf ihre topologischen Eigenschaften vergleichen; insbesondere wird der Begriff ihrer ``Äquivalenz'' festgelegt. Nunmehr werden die invarianten Grundbegriffe der Charakteristik \(K\), des Geschlechtes \(p\) und der Zusammenhangsordnung \(Z\) erörtert und nach ihren, inneren Beziehungen verfolgt. Auf der einblättrigen Fläche \(F\) ziehe man ein Netz von einer endlichen Anzahl \(\alpha_2\) krummliniger Polygone (Elementarstücke ) mit \(\alpha_1\) Seiten und \(\alpha_0\) Ecken. Die Charakteristik (3) \(K = - \alpha_0 + \alpha_1- \alpha_2\) stellt sich als unabhängig von dem betrachteten Netze heraus. Besteht die Fläche \(F\) aus \(m\) Blättern \(F_i\) mit den Einzelcharakteristiken \(K_i\), so erweitert sich die Charakteristik zu (3') \(K = \sum K_i\) (Prinzip der Addition der Charakteristiken). Das Geschlecht \(p\) einer einblättrigen Fläche \(F\) mit \(r\) Rändern bestimmt sich durch (4 a) \(K = 2p + r - 2\) resp. (4 b) \(K = p + r - 2\), je nachdem \(F\) zweiseitig oder einseitig ist. In Verbindung mit (3) gelangt man zur allgemeinen \textit{Euler}schen Formel. Endlich hat man für einblättrige Flächen (5) \(Z = K + 2\) und entsprechend für \(m\)-blättrige: (5') \(Z = \Sigma K_i + 2 = \Sigma Z_i - 2m + 2\), also insbesondere für einblättrige geschlossene Flächen \(F (m =1, r = 0) Z = 2p\) resp. \(Z = p\), je nachdem \(F\) zweiseitig oder einseitig ist. Hieraus gehen fundamentale Sätze hervor, wie u. a.: \((\alpha)\) Auf einem geschlossenen Blatte \(F\) lassen sich genau \(Z\) geschlossene Kurven legen, so daß\ jede andere als lineare Kombination derselben mit ganzzahligen Koeffizienten erscheint. \((\beta)\) Notwendig und hinreichend für die Äquivalenz zweier -- zugleich zweiseitigen oder einseitigen -- Blätter ist, daß\ die Anzahlen der Ränder und die Zusammenhangsordnungen übereinstimmen. Im nächsten Abschnitt werden die Eigenschaften des Zusammenhanges vom Standpunkt der eineindeutigen, stetigen Transformationen \(T\) mit Fundamentalpunkten entwickelt. Der Einfachheit halber wird von vielfachen Punkten abgesehen. Dann werden zwei Blätter \(F, F'\) einer \(T\) unterworfen: jedem von einem Punkte \(P\) von \(F\) verschiedenen Punkte \(Q\) auf \(F\) korrespondiert ein Punkt \(Q'\) auf \(F'\), dagegen den, \(P\) nach allen Richtungen benachbarten Punkten auf \(F\) solche Punkte auf \(F'\), die eine geschlossene Kurve \(C'\) bilden. So gelangt man zur Abbildung eines Blattes \(F_m\) auf ein Blatt \(F\) mit \(m\) willkürlichen Fundamentalpunkten \(P_i\), die verschieden und benachbart sind, und denen auf \(F_m, m\) verschiedene geschlossene Kurven \(C_i\) korrespondieren. Irgend zwei Blätter \(F\) werden dann auf eine Hilfsfläche \(\Phi\) vermöge einer \(T\) bezogen, die dann \(n\) äquivalente Fundamentalpunkte \(Q_k\) aufweist. Sodann wird die Beziehung zwischen den Zusammenhangszahlen \(Z, Z_1\) von \(F, \Phi\) untersucht; sie lautet einfach (6) \(Z + m = Z_1 + n.\) Treten insbesondere Fundamentalpunkte nur auf \(F\) auf, so ist \(\Phi\) einseitig. Hieran schließt sich eine Reihe weiterer Sätze, die sich u. a. auf die \textit{Möbius}schen einseitigen Flächen mit Rändern anwenden lassen. Ferner erhebt sich die rage, wann sich eine geschlossene Kurve \(C\) stetig in einen Punkt deformieren läßt; die Antwort lautet: dann und nur dann, wenn eine gewisse Invariante verschwindet. Daraufhin wird auf einem einseitigen Blatte \(T\) eine ``Minimalbasis'' von \(Z\) geschlossenen Kurven \(C_i\) konstruiert. Mit diesen und verwandten Hilfsmitteln gelingt es, die einblättrigen rationalen Flächen zu charakterisieren, die reell auf eine Ebene abbildbar sind. Dabei leisten wesentliche Dienste die beiden Relationen \[ (7\text{a})\quad I-Z=2(i-1),\;(7\text{b})\;I+Z=2(v+i), \] wo \(I, v, i\) die früher angegebene Bedeutung haben; hieraus folgt weiter, daß\ \[ (8 \text{a})\quad Z\equiv I \mod 2,\qquad (8 \text{b})\;0 \leqq Z \leqq I+2, \] und hieraus, daß\ alle reellen einblättrigen, rationalen Flächen mit \(Z > 2\) einseitig sind, und zweiseitige Typen nur für \(Z = 0, 2, i\) auftreten können. Jetzt werden analog mehrblättrige Flächen untersucht; sie zerfallen in drei verschiedene ``Familien''. Zunächst werden, wie üblich, alle vermöge \(T\) ineinander überführbaren Flächen \(\Phi\) derselben ``Klasse'' zugewiesen; zwei solche Flächen \(\Phi\) sind auch hinsichtlich des Zusammenhanges als äquivalent anzusehen. Damit läßt sich jede reelle rationale mehrblättrige \(F\) auf eine \(\Phi\) einer bestimmten Klasse abbilden. Wie die drei Familien von \(F\) zu charakterisieren sind, zeige z. B. der erste Fall: es existiert dann eine \(\Phi\) mit der Gleichungsform \(z^2 + y^2 = \Delta(x)\), mit lauter zweiseitigen Blättern, und \(Z_i = 0\), und es gelten die Relationen \[ Z \equiv I \mod 2, -2m + 2 \leqq Z \leqq I- 4m + 2. \] Im zweiten Falle ist \(\Phi\) von der Form \(z^2 = f (x, y)\) und im dritten besitzt \(F\) nur ein einziges einseitiges Blatt, das durch keine reelle \(T\) in ein zweiseitiges verwandelbar ist. Am Schlusse wird noch ein weiterer invarianter Charakter \(\overline\varrho\), die ``Basiszahl'' eingeführt. Auf einer reellen algebraischen Fläche \(F\) môgen \(\overline\varrho\)-Kurven \(C_1, C_2, \dots, C_{\overline\varrho}\) eine reelle Basis bilden, wenn sie erstens algebraisch unabhängig sind, und zweitens jede weitere reelle Kurve auf \(F\) a1gebraisch mit jenen verknüpft ist; die so eindeutig bestimmte Zahl \(\overline\varrho\) ist die Basiszahl. Zwischen den drei Invarianten \(I, Z\) und \(\overline\varrho\) finden dann eigenartige Beziehungen statt, die auf Grund sehr einfacher Relationen zwischen \(\overline{\varrho}, r\) und \(i\) abgeleitet werden. Dies wird an instruktiven Beispielen erläutert.