Beiträge zur geometrischen Interpretation der quadratischen und \textit{Hermite}schen Formen. (Q1474893)

Auf der Einheitskugel \(K\): \[ (\text{a})\quad x_i^2 + x_2^2 + x_3^2 - x_4^2 = 0 \] entspricht einer komplexen Zahl \(\eta = \eta_1/\eta_2\) vermöge stereographischer Projektion ein Punkt: \[ (\text{b})\quad x_1:x_2:x_3:x_4 = (\eta_1 \overline\eta_2 + \overline{\eta_1}\eta_2):- i(\eta_1\overline\eta_2- \overline{\eta_1}\eta_2):(\eta_1 \overline\eta_1-\eta_2\overline\eta_2):(\eta_1 \overline\eta_1 + \eta_2 \overline\eta_2). \] Damit korrespondiert einer quadratischen (qu.)-Form: \[ (\text{c})\quad f=a\eta_1^2 + \eta_1\eta_2+c\eta_2^2 \] auf \(K\) ein Punktepaar oder auch die Gerade, die \(K\) in den beiden Nullpunkten von \(f\) trifft. Andererseits korrespondiert einer \textit{Hermite}schen (H.)- Form: \[ (\text{d})\quad \varphi = \alpha\eta_1\overline\eta_1 + \beta\eta_1\overline\eta_2 + \overline\beta\overline{\eta_1}\eta_2 + \gamma\eta_2\overline\eta_2 \] die Ebene: \[ (\text{e})\quad (\beta + \overline\beta) x_1 + i(\beta - \overline\beta) x_2 + (\alpha \gamma) x_3+ (\alpha + \gamma)x_4 = 0, \] oder auch deren Schnittkreis mit \(K\). Es wird der innere Zusammenhang untersucht, der zwischen den qu.- und \(H.\)-Formen vermöge dieser geometrischen Interpretation zutage tritt; indem beide Formen im Sinne des Dualitätsprinzips gegenübergestellt werden. Es seien zunächst zwei qu. Formen \(f_1, f_2\) egeben. Um den Winkel \(\vartheta\) dieser Geraden zu bestimmen, berechne man vorab aus (b) die Linienkoordinaten. Dann ergibt sich der in hyperbolischer Maßbestimmung gemessene Winkel \(\vartheta\), bezogen auf die Einheitskugel als absolutes Gebilde, durch \[ (1)\quad \vartheta = \text{arc} \cos \frac {d_{12}}{\sqrt {d_{11}}\sqrt {d_{22}}}, \] wo \(d_{11}, d_{22}\) die Diskriminanten von \(f_1, f_2\) bedeuten, und die deren bilineare Invariante. Falls die beiden Geraden sich nicht treffen, gilt (1) nach \textit{F. Klein} als invarianten- theoretische Definition für \(\vartheta\); eine Definition, die eigentlich zuerst bei \textit{Schilling} in kinematischer Gestalt als Amplitude einer Schraubenbewegung auftritt. Die Funktionaldeterminante \(F\) von \(f_1, f_2\) liefert die gemeinsame Normale aller Geraden des Büschels \((f_1, f_2)\). Analog wird der Winkel \(\Theta\) zweier Ebenen behandelt, die durch die \(H\). Formen \(\varphi_1, \varphi_2\) gegeben gedacht sind; man erhält \[ (1')\quad \Theta = \text{arc} \cos \frac {\delta_{12}}{\sqrt {\delta_{11}}\sqrt {\delta_{22}}}. \] Sodann kommt der Winkel einer Geraden und einer Ebene in Betracht. Sei die Diskriminante \(d\) von \(f\) reell, und \(\varphi\) eine indefinite \(H\). Form. Es werden zuvörderst die Bedingungen aufgestellt, damit die Gerade \(f\) in der Ebene \(\varphi\) liegt, resp. auf ihr senkrecht steht. Damit läßt sich die \(H\). Form derjenigen Ebene bestimmen, die zwei Geraden enthält resp. auf zwei sich treffenden Geraden senkrecht steht. Die Betrachtung erweitert sich auf die Figuren von Strahlenbündel, Ebenenbündel und Strahlenebene. So gehören drei Gerade \(f_1, f_2, f_3\) zu einem Strahlenbündel oder zu einer Strahlenebene, je nachdem die Determinante der \(f\) imaginär oder reell ist. Die weiteren Figuren werden einander polar gegenübergestellt, was sich invariantentheoretisch einfach und durchsichtig ausdrücken läßt. Den Schluß\ bilden die zugehörigen Winkelformeln.