Sur les cycles des surfaces algébriques et sur une définition topologique de l'invariant de \textit{Zeuthen-Segre}. (Q1474936)

Jeder irreduziblen, algebraischen Mannigfaltigkeit von \(n\) Dimensionen \(V_n\) entspricht eine reelle \textit{Riemann}sche Mannigfaltigkeit \(R_{2(n)}\) von \(2n\) Dimensionen. Zwischen ihren topologischen Invarianten und der \textit{Zeuthen-Segre}schen Invariante von \(V_n\) besteht eine einfache Beziehung, die der Verf. ableitet. Er benutzt dabei eine von \textit{Poincaré} aufgestellte topologische Irrvariante \(\varPi_{2(k)}\) von \(R_2(k),\) die definiert wird durch \[ \varPi_{2(k)} =\sum_{i=0}^{i=2k}(-1)^i \alpha_i, \] wo \(\alpha_0, \alpha_1, \alpha_2, \dots\) die Anzahl der Ecken, Kanten, Flächen, \(\dots\) eines verallgemeinerten Polyeders mit einfach zusammenhängenden Elementen bedeutet, in welches sich \(R_{2(k)}\) zerlegen läßt. Ist \(I_n\) die \textit{Zeuthen-Segre}sche Invariante von \(V_n,\) so lautet die Formel, zu der der Verf. gelangt: \[ \varPi_{2(n)} = (-1)^n I_n + 2n. \] Für \(n = 2\) gibt dann der Verf. einen zweiten sehr einfachen Beweis für diese Formel. Endlich leitet der Verf. für die Anzahl der linear unabhangigen zweidimensionalen Zyklen einer \(R_{2(2)},\) die zu einer \(V_2\) gehört, die Formel ab: \[ P_2 -1=I_2 + 4 (p_g - p_\alpha) + 2. \] Diese Formel stimmt nun mit einer von \textit{Poincaré} bei derselben (projektiven) Auffassung des Unendlichfernen gefundenen (Journ. de Math. (6) 2, 135; F. d. M. 37, 442 (JFM 37.0442.*), 1906 ) nur bei \textit{regulären} Flächen überein, bei denen \(p_g = p\alpha\) ist. Der Verf. bestätigt sein Resultat am Beispiel von Linienflächen.