Die \textit{Hamilton-Jacobi}sche Theorie für Doppelintegrale (mit einer Übersicht der Theorie für einfache Integrale). (Q1475101)

Bei der Übertragung des Gedankenkreises der sogenannten \textit{Hamilton-Jacobi}schen Theorie einfacher Integrale auf Doppelintegrale kann man verschiedene Gesichtspunkte zugrunde legen. In der vorliegenden Arbeit ist die ``variierende Wirkung'' (\textit{Hamiltons} Prinzipalfunktion) als Ausgangspunkt für die Übertragung gewählt. Es war zunächst erforderlich, in einem einleitenden Kapitel die Theorie einfacher Integrale in einer für die Übertragung geeigneten Form darzustellen, wobei die Anordnung und Beweisführung vielfach anders als in den üblichen Darstellungen zu wählen war. Im zweiten Kapitel wird dann die Theorie für Doppelintegrale mit einer unbekannten Funktion, im dritten für solche mit zwei unbekannten Funktionen entwickelt. Jedes dieser drei Kapitel ist wieder in drei Paragraphen gegliedert. Bei den Ausführungen des ersten Paragraphen jedes Kapitels stehen die Prinzipalfunktion und die zugehörigen partiellen Differentialgleichungen im Mittelpunkte. Bei einfachen Integralen ist die Extremale durch zwei vorgegebene Punkte \(P_1\) und \(P_2\) bestimmt und das über das Stück der Extremale zwischen zwei solchen Punkten erstreckte Linienintegral, das sogenannte \textit{Extremalintegral} erscheint als \textit{Funktion des Punktepaares} bzw. der Koordinaten der beiden Punkte. Die allgemeine Grenzformel der Variationsrechnung bestimmt die Variation des Extremalintegrals bzw. seine Ableitungen nach den Koordinaten der beiden Begrenzungspunkte. Von da aus kommt man dann in bekannter Weise zu den beiden \textit{Hamilton}schen partiellen Differentialgleichungen, denen das Extremalintegral genügt. Bei Doppelintegralen ist die Extremste statt durch ein Punktspeer durch eine Randkurve bestimmt, und das entsprechend gebildete Extremalintegral ist abhängig von der Gestalt der Randkurve, es ist eine \textit{Linienfunktion}. Die Variation einer solchen Linienfunktion wird durch eine Integral über die Raumkurve mit Hilfe der \textit{funktionalen Ableitungen Volterras} dargestellt. Es ist hier zweckmäßig, statt der funktionalen Ableitungen nach den Koordinatenachsen die nach den Koordinatenebenen einzuführen. Durch Vergleich mit der ``Randformel'' für Doppelintegrale, die in der Arbeit entwickelt wird, erhält man dann diese funktionalen Ableitungen nach den Koordinatenebenen ausgedrückt durch die Bestimmungsstücke der Extremale und zwar für \textit{jeden Punkt} der vorgeschriebenen Randkurve. Durch Elimination erhält man daraus eine Gleichung zwischen den (partiellen) funktionalen Ableitungen, die \textit{in jedem Punkte der Randkurve} erfüllt sein muß. Sie ist das Analogon der beiden \textit{Hamilton}schen Gleichungen, die man auch so auffassen kann, als handle es sich um eine Gleichung, der die Punktpaarfunktion mit jedem der beiden Begrenzungspunkte genügen muß. Die \textit{Volterra}schen funktionalen Ableitungen sind aber mit einer Unbestimmtheit behaftet, die darin ihren Grund hat, daß\ bei einer vorgegebenen Randkurve auch die Tangente der Extremale in Richtung der Randkurve bereits bekannt ist. Es erscheint daher zweckmäßig, Variationen der Randkurve nur so vorzunehmen, daß\ man die Projektion der Randkurve auf die \((x, y)\)-Ebene (Ebene der unahhängigen Veränderlichen) nur in Richtung ihrer Normale variiert. Das bedeutet für diese Projektion den Übergang zu natürlichen Koordinaten. Wieder drücken sich die funktionalen Ableitungen (nach den Normalen und den Koordinaten der unbekannten Funktionen) durch die Extremale aus und die Elimination führt zu einer anderen Form der Gleichung für die funktionalen Ableitungen, die auch für jeden Punkt der Randkurve erfüllt sein muß, und als \textit{Hamilton}sche Gleichung für Doppelintegrale angesprochen werden kann. Geht man umgekehrt bei einfachen Integralen von der partiellen Differentialgleichung aus und fragt nach deren Integralen, so kommt man statt zu der Punktpaarfunktion zu \textit{Feldern} von Extremalen, für die der \textit{Hilbert}sche Unabhängigkeitssatz gilt. In einem solchen Felde ist die Lösung der partiellen Differentialgleichung eine Belegung mit dem \textit{Extremalintegralwert}, der auf den Transversalen des Feldes konstant ist Bei Doppelintegralen erhält man entsprechend als Lösung der Gleichung zwischen den funktionalen Ableitungen nicht das Extremalintegral für die Ausgangskurve (d. h. das Integral über eine im Innern der Kurve singularitätenfreie Extremale), sondern man muß\ an das Extremalintegral über ein zweifach zusammenhängendes von zwei Kurven begrenztes Gebiet denken. Z. B. die Gesamtheit der Extremalen, die durch eine feste Kurve gelegt werden könne bei beliebiger Wahl der normalen Ableitungen bestimmt ein sogenanntes \textit{Funktionsfeld}, bei dem durch jede geschlossene Kurve eine einzelne Extremale hindurchgeht. Der Extremalintegralwert in einem solchen Funktionsfelde ist eine Linienfunktion, die mit ihren Ableitungen der vorgegebenen Gleichung genügt. Das gewöhnlich gewählte, im Innern einer Randkurve singularitätenfreie Extremalenstück erscheint da als besonderer Fall. Hat man bei einfachen Integralen eine geeignete Schar von Feldern, d. h. eine vollständige Lösung der partiellen Differentialgleichung, so kann man die Randwertaufgabe der \textit{Euler-Lagrange}schen Differentialgleichungen des Variationsproblems für ein vorgegebenes Punktepaar lösen. Entsprechend wird man aus einer Lösung der Gleichung zwischen den funktionalen Ableitungen die Randwertaufgabe der \textit{Euler-Lagrange}schen Differentialgleichungen lösen können, wenn zwei Randkurven vorgegeben sind, die durch die Extremale verbunden werden sollen, wobei wieder als besonderer Fall die singularitätenfrei von einer Randkurve begrenzte Extremale erscheint. Der zweite Paragraph der einzelnen Kapitel beschäftigt sich mit der Integration der \textit{Euler}-\textit{Lagrange}schen Gleichungen der Variationsprobleme: Bei einfachen Integralen pflegt man sie in ein \textit{kanonisches System} überzuführen, wobei die Randwertaufgabe zurücktritt und die Extremale durch Anfangspunkt und Anfangstangente bestimmt wird. Bei der Übertragung dieser Überlegungen auf Doppelintegrale ist die Extremale entsprechend bestimmt zu denken durch eine Raumkurve und die zugehörige normale Ableitung. Daher wird die formale Einführung eines kanonischen Systems Vorteile bieten, da sie der Tatsache nicht Rechnung trägt, daß\ mit der Raumkurve auch die zugehörige tangentiale Ableitung der Extremale bekannt ist. Das kanonische System wird daher zweckmäßig unter Heranziehung natürlicher Koordinaten gebildet. Die Integrationstheorie eines kanonischen Systems kann aus der von \textit{Poincaré} eingeführten relativen Integralinvariante erster Ordnung, die unmittelbar aus der Randformel des Variationsproblems entspringt und iu enger Beziehung zu dem \textit{Hilbert}schen Unabhängigkeitssatze steht, bzw. zu der zugehörigen absoluten Integralinvariante zweiter Ordnung, deren Integrand in der Literatur als die ``bilineare Kovariante'' bezeichnet wird. Insbesondere kommt man von hier zu den ``\textit{Jacobi}schen Gleichungen'', d. h. den linearen Differentialgleichungen, die aus der zweiten Variation entspringen: Alles dies kann bei den Doppelintegralen wieder gefunden werden, weil man auch da unmittelbar die Randformel angeben und dann von da aus vorgehen kann. Daran schließt sich der Zusammenhang eines kanonischen Systems mit einer infinitesimalen Berührungsfunktion, während das Variationsproblem selbst die zugehörige endliche Berührungstransformation vermittelt. Dies ermöglicht die Übertragung des Begriffs der Berührungstransformation in das Gebiet der Linienfunktronen. Daß\ die Kenntnis der Transformation eines kanonischen Systems in sich gleichbedeutend mit der Kenntnis eines Integrals der kanonischen Gleichungen rst, folgt daraus ohne weiteres und daraus leitet man weiter das \textit{Poisson}sche Theorem her. Auch dies hat dann bei Doppelintegralen sein Analogon. Der dritte und letzte Paragraph bringt in jedem Falle die durch \textit{Jacobi} vorgenommene Umkehrung des \textit{Hamilton}schen Gedankens, nämlich die partielle Differentialgleichung voranzustellen, ihr ein Variationsproblem zuzuordnen und ihre Integration auf die Konstruktion eines Feldes, d. h. auf die Integration der \textit{Euler}-\textit{Lagrange}schen Gleichungen zurückzuführen. Für Gleichungen zwischen den partiellen funktionalen Ableitungen einer Linienfunktion läßt sich eine analoge Integrationstheorie angeben.