Über Sinusschwingungen mit nichtlinearen Kraftgesetzen. (Q1475150)

Nach der geschichtlichen Übersicht, die in der Einleitung gegeben ist; zeigt der Verf., daß\ aus der Schwingungsgleichung. \[ (1) \qquad x = A e^{\varphi (t) } \sin (\nu t + \theta) \] die Differentialgleichung der Bewegung folgt: \[ (2) \quad \frac {d^2 x}{dt^2} - 2\varphi' (t)\;\frac {dx}{dt} - [\varphi''(t) -\nu^2 -\varphi'(t)^2] x=0. \] ``Es gilt nun, solche Funktionen für \(\varphi (t)\) zu finden, daß\ die bisher nur fort Bedeutung besitzenden Gleichungen (1) und (2) physikalischen Wert erhalten. Man muß\ dazu entweder \(\varphi(t)\) so wählen, daß\ sich in (1) experimentell gefundene Dämpfungsgesetze ergeben, wozu man dann aus (2) die die Schwingungen regelnden Kräfte erhält; oder so, daß\ zunächst einmal die im zweiten und dritten Gliede von (2) dargestellten Kräfte physikalisch brauchbare Formen annehmen, die durch irgendwelche Anordnungen verwirklicht werden können, wozu man aus (1) sofort die aus ihnen erzeugte Schwingung erhält. Für die Behandlung des Problems in der ersten Form wallen wir die geradlinig gedämpfte Schwingung \([\varphi(t) =\log(1-bt)],\) d. h. die Schwingung mit einer geraden Linie als Amplitudenkurve. Bei der zweiten Art der Behandlung, bei der man nicht auf Probieren angewiesen ist, werden wir aus der Fülle der Möglichkeiten nur einige interessante Fälle hervorheben.'' (Ungedämpfte Schwingung mit unsymmetrischer Geschwindigkeitsverteilung zwei Beispiele. Schwingungen mit irrationalem Dämpfungsgesetz.)