Das asymptotische Verteilungsgesetz der Eigenschwingen eines beliebig gestalteten elastischen Körpers. (Q1475185)

Das Problem der elastischen Eigenschwingungen eines isotropen Körpers von beliebiger Gestalt wird vom Verf. benutzt, um an ihm seine Methode Aufstellung des asymptotischen Verteilungsgesetzes der Schwingungzahlen der einfachen Form, welche sie schließlich angenommen hat, auseinander setzen. Es müssen zu diesem Zweck aber zunächst die Lösungen der statisischen Randwertprobleme der Elastizitätstheorie aufgestellt und die zu ihnen gehöriger \textit{Green}schen Funktionen diskutiert werden. Dreierlei Randbedingungen kommen in Betracht: I. die Verschiebung \(u = 0;\) II. \(\text{div\,}u = 0, u\) normal; III. der Druck \(= 0\). Die II. ist darum wichtig, weil sie nach dem Schema: elastischer Körper -- \textit{Fresnels} elastischer Äther -- elektromagnetischer Äther die Verbindung der Elastizitätstheorie mit der Potentialtheorie herstellt. Die Randwertaufgaben werden mittels der \textit{Fredholm}schen Methode auf lineare Integralgleichungen zurückgeführt; für die III. muß\ dabei eine Art ``Antennen-Belegung'' verwendet werden. Die mit etwaigen Nullösungen der Integralgleichungen verbundenen Schwierigkeiten werden durch einen einfachen Kunstgriff überwunden. -- Der zweite Teil beschäftigt sich mit dem Spektrum der Eigenwerte, dessen Diskussion durch einige allgemeine, früher vom Verf. bewiesene Sätze über Integralgleichungen ermöglicht wird. Es gelten analog wie beim Membranproblem die folgenden exakten Spektrumsgesetze: Denkt man sich innerhalb des Körpers \(J\) irgendeine endliche Anzahl von Teilkörpern abgegrenzt, die gegenseitig nicht ineinander eindringen, so liegen unterhalb einer beliebigen Schranke mindestens ebenso viele zu \(J\) gehörige Eigenwerte (der elastischen Schwingungsgleichung mit der Randbedingung \(I),\) als die Gesamtzahl der zu den einzelnen Teilkörpern gehörigen Eigenwerte unter dieser Schranke beträgt. Die Anzahl der für die Randbedingungen II oder III möglichen Eigenschwingungen bis zu einer beliebigen Frequenzgrenze ist mindestens ebenso groß\ wie für I. Ist \(a\text{\,grad\,div\,} - b\text{\,rot\,rot}\) jener Ausdruck, der in der Elastizitätstheorie isotioper Medien an die Stelle des Potentialausdrucks \(\varDelta \) tritt, so lautet das asymptotische Spektralgesetz (und dies ist das eigentliche Ziel der Arbeit): Die Anzahl derjenigen Eigenschwingungen, welche ein beliebig gestalteter elastischer Körper vom Volumen \(J\) unter dem Oberflächendruck 0 auszuführen imstande ist, beträgt bis zur Frequenzgrenze \(\nu\) asymptotisch \(\frac J{6\pi^2}\, (a^{-3/2} + 2b^{-3/2})\nu^3.\)