Systeme von Potentialflächen und Stromflächen. (Q1475320)

Die Stromlinien einer räumlichen Potentialströmung lassen sich unter Einführung einer willkürlichen Funktion zweier Veränderlichen zu \(\infty^1\) Stromflächen zusammenfassen, die auf den Flächen konstanter Geschwindigkeitspotentials senkrecht stehen. Greift man zwei solche Scharen von Stromflächen \(v = \)const. und \(w =\) const. heraus, so können sie mit den Potentialflächen \(u =\) const. zusammen als räumliches Koordinatensystem. aufgefaßt werden, indem die Flächen \(v\) und \(w\) im allgemeinen wechselnde und von \(90^\circ\) verschiedene Winkel miteinander bilden, während die Flächen \(u\) und \(v\) ebenso wie die Flächen \(w\) und \(u\) aufeinander senkrecht stehen. Andererseits genügt \(u\) bei richtiger Verteilung des Parameters auf den Potentialflächen der \textit{Laplace}schen Gleichung \(\varDelta_2u = 0, v\) und \(w\) dagegen lassen sich als zwei zunächst voneinander unabhängige ``Stromfunktionen'' betrachten, ähnlich wie \textit{Stokes} bei der ebenen Strömung und bei der rotationssymmetrischen Meridionalströmung \textit{eine} Stromfunktion eingeführt hat, die eine lineare partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung erfüllt: Jede Stromfunktion des allgemeinen räumlichen Problems genügt nun einer ähnlichen Differentialgleichung von höherer als zweiter Ordnung; diese reduziert sich durch Einführung eines partikulären Integrals auf eine partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung, welche die von \textit{Stokes} angegebenen Differentialgleichungen als spezielle Fälle in sich enthält. Eine besondere Vereinfachung läßt sich durch geeignete Auswahl der Funktionen \(v\) und \(w\) erzielen. Nimmt man die eine der beiden Scharen von Stromflächen \(v\) willkürlich an, so kann man die zweite \(w\) immer so wählen, daß\ \(\text{curl} [\text{grad\,}v \times \text{grad\,}w] = 0\) ist. Zwei solche Scharen von Stromflächen bilden ein ``normiertes System''. Die geometrische Bedeutung der normierten Systeme liegt darin, daß\ die beiden Scharen von Stromflächen zusammen mit den Potentialflächen den von Flüssigkeit erfüllten Raum in \(\infty^3\) Zellen teilen, deren Querschnitt der Länge proportional ist. Dieser Satz gibt eine Verallgemeinerung der bekannten Einteilung der Ebene durch Potential- und Stromkurven in ``unendlich kleine Quadrate''. Das Potential selbst hängt dann mit den beiden Scharen von Stromflächen durch die Gleichung \(\text{grad\,}u = \text{grad\,}v \times\) grad \(w\) zusammen, welche die in der Ebene geltenden Beziehungen \(\frac {\partial u}{\partial x} = \frac {\partial v}{\partial y}, \;\frac {\partial v}{\partial x} = -\frac {\partial u}{\partial y}\) ebenso wie ähnliche, für die Meridionalströmung geltende Gleichungen als spezielle Fällen umfaßt. Betrachtet man die drei Flächenscharen \(u, v, w\) als räumliches Koordinatensystem, so ergibt sich durch Transformation der Gleichung zwischen dem Potential und den beiden normierten Stromfunktionen die neue Gleichung \[ \frac {\partial {\mathfrak X}}{\partial u} = \frac {\partial {\mathfrak X}}{\partial v}\times \frac {\partial {\mathfrak X}}{\partial w}, \] wo \[ {\mathfrak X} = {\mathfrak i} x (u, v, w)+ {\mathfrak j}y(u, v, w) +{\mathfrak k} z(u, v, w) \] der Ortsvektor ist. Diese Gleichung enthält ebenfalls einige bekannte Formeln für einfache Strömungen als spezielle Fälle. Da sie in drei skalare Gleichungen zerfällt, müssen die Bedingungen der Integrabilität untersucht werden. Es zeigt sich, daß\ \(\mathfrak X\) einer linearen partiellen Differentialgleichung zweiter Ordnung genügen muß, die in dem Fall, daß\ auch die Stromflächen aufeinander senkrecht stehen, als die von \textit{Jacobi} aufgestellte Transformierte der \textit{Laplace}schen Gleichung erkannt wird. Die Vermutung, daß\ auch in dem allgemeinen Fall die Integrabilitätsbedingung die gleiche Bedeutung hat, wird durch die Ausführung der Transformation der \textit{Laplace}schen Gleichung. auf ein beliebiges schiefwinkliges Koordinatensystem bestätigt. Die transformierte Gleichung erscheint dabei in einfacher und übersichtlicher Gestalt als Determinante vierter Ordnung.