Einige Anwendungen der Impulssätze. (Q1475332)

Die zeitliche Änderung des Impulses \({\Im} =\varSigma m\mathfrak v\) eines den äußeren Kräften \({\mathfrak F}_k\) \((k =1, 2, \dots, n)\) unterworfenen Punktsystems ist gleich der Resultierenden dieser äußeren Kräfte: \[ (\text{I})\qquad \frac {d\Im}{dt}=\sum_{k=1}^n {\mathfrak F}_k. \] \(\Im\) bedeutet dabei den Gesamtimpuls des Systems; die Gleichung (I) ist eine vektorielle, die man in drei Skalargleichungen zerlegen kann (Schwerpunktsatz). Die zeitliche Änderung des Momentes des Geschwindigkeitsimpulses eines solchen Punktsystems in bezug auf einen festen Punkt ist gleich dem Gesamtmomente aller äußeren Kräfte \(\mathfrak {F}_k\) in bezug auf denselben festen Punkt: \[ (\text{II}) \qquad \frac d{dt} (\varSigma m{\mathfrak v} \times {\mathfrak r})=\sum_{k=1}^n ({\mathfrak F}\times {\mathfrak r}_k). \] Die Summe auf der linken Seite bezieht sich auf sämtliche Punkte des Systems; \(\mathfrak r\) oder \(\mathfrak {r}_k\) bedeuten den Vektor, der von dem betrachteten Punkte zu einem Punkte oder dem \(k\)-ten Punkte des Systems führt und das Zeichen \(\times\) deutet auf eine vektorielle Multiplikation hin. Von beiden Sätzen werden Anwendungen auf hydrodynamische Probleme gemacht: Beweis des \textit{d'Alembert}schen Paradoxons, Anziehung einer längs einer Wand gleichförmig fallenden Kugel von der Wand, Bewegung einer Fläche in einem Flüssigkeitszylinder, diskontinuierliche stationäre Bewegung, stationäre zweidimensionale Bewegung einer idealen, inkompressiblen, im Unendlichen eine linear veränderliche Geschwindigkeit besitzenden Flüssigkeit um ein festen Körper und Aufklärung gewisser mit dem Energieprinzip anscheinend in Widerspruch stehenden Erscheinungen.