Kovarianzeigenschaften der Feldgleichungen der auf die verallgemeinerte Relativitätstheorie gegründeten Gravitationstheorie. (Q1475449)

``In einer 1913 erschienenen Abhandlung (F. d. M. 44, 770 (JFM 44.0770.*)) haben wir eine verallgemeinerte Relativitätstheorie auf den absoluten Differentialkalkül gegründet, die auch die Theorie der Gravitation umfaßt. In dieser Theorie treten Gleichungssysteme von zwei grundsätzlich verschiedenen Arten auf. Wir haben erstens Gleichungssysteme aufgestellt für den Ablauf materieller (z. B. mechanischer, elektrischer) Vorgänge in einem als gegeben anzusehenden Gravitationsfeld; diese Gleichungssysteme, welche als Verallgemeinerungen entsprechender Gleichungssysteme der ursprünglichen Relativitätstheorie aufgefaßt werden können, sind beliebigen Substitutionen der Raumzeitvariabeln (``Koordinaten'') gegenüber kovariant. Wir haben zweitens ein Gleichungssystem aufgestellt, welches als Verallgemeinerung der \textit{Poisson}schen Gleichung der \textit{Newton}schen Gravitationstheorie aufzufassen ist, und welches das Gravitationsfeld bestimmt, sofern die die materiellen Vorgänge bestimmenden Größen gegeben sind. Zu diesem Gleichungssystem gibt es kein entsprechendes in der ursprünglichen Relativitätstheorie. Im Gegensatz zu den oben erwähnten Gleichungssystemen konnten wir für diese ``Gravitationsgleichungen'' die allgemeine Kovarianz nicht nachweisen. Zu ihrer Ableitung war nämlich neben den Erhaltungssätzen nur die Kovarianz gegenüber beliebigen \textit{linearen} Substitutionen vorausgesetzt worden, und es blieb die Frage offen, ob es noch andere Substitutionen gebe, welche die Gleichungen in sich überführen. Die Entscheidung dieser Frage ist äus zwei Gründen von besonderer Wichtigkeit für die Theorie. Ihre Beantwortung gibt erstens Aufschluß\ darüber, einer wie weitgehenden Entwicklung der Grundgedanke der Relativitätstheorie fähig ist, hat also große Bedeutung für die Lehre von Raum und Zeit. Zweitens ist das Urteil über den der Theorie vom physikalischen Standpunkte aus zuzuschreibenden Wert in hohem Maße abhängig von der Beantwortung dieser Frage, wie folgende Überlegung zeigt: Die ganze Theorie ist hervorgegangen aus der Überzeugung, daß\ alle physikalischen Vorgänge in einem Gravitationsfeld genau gleich ablaufen, wie die entsprechenden Vorgänge ohne Gravitationsfeld ablaufen, falls man sie auf ein passend beschleunigtes (dreidimensionales) Koordinatensystem bezieht (``Äquivalenzhypothese''). Diese auf die Erfahrungstatsache von der Gleichheit der schweren und der trägen Masse gegründete Hypothese erhält dann eine besondere Überzeugungskraft, wenn das ``scheinbare'' Gravitationsfeld, welches in bezug auf das beschleunigte (dreidimensionale) Koordinatensystem existiert, als ein ``wirkliches'' Gravitationsfeld aufgefaßt werden kann, wenn also Beschleunigungstransformationen (d. h. nichtlineare Transformationen) zu den berechtigten Transformationen der Theorie gehören. Auf den ersten Blick erscheint es als erstrebenswert, Gravitationsgleichungen zu suchen, die beliebigen Transformationen gegenüber kovariant sind. Durch eine einfache Betrachtung werden wir aber in \(\S\) 2 dieser Arbeit zeigen, daß\ durch allgemein-kovariante Gleichungen eine vollständige Bestimmung der das Gravitationsfeld charakterisierenden Größe \(g_{\mu \nu}\) unmöglich ist. Im folgenden wird nun der Nachweis geführt, daß\ die von uns aufgestellten Gravitationsgleichungen jenen Grad allgemeiner Kovarianz besitzen, der denkbar ist, unter der Bedingung, daß\ der Fundamentaltensor \(g_{\mu \nu}\) durch die Gravitationsgleichungen vollständig bestimmt sein soll; insbesondere ergibt sich, daß\ die Gravitationsgleichungen Beschleunigungstransformationen (d. h. nichtlineare Transformationen) mannigfaltiger Art gegenüber kovariant sind.''