The indices of permutations and the derivation therefrom of functions of a single associated with the permutations of any assemblage of objects. (Q1475902)

Verf. betrachtet die Permutationen von Ausdrücken wie \(a^{i_1}_1 a^{i_2}_2 a^{i_3}_3\dots\). Das Zusammenstoßen von \(a_s a_t\) in einer solchen Permutation heißt ``maior'', ``equal'' oder ``minor contact'', je nachdem \(s\lesseqgtr t\). Schreibt man unter das linke Glied jedes maior contacts die Zahl, welche angibt, das wievielte Glied der Permutation von links gerechnet es ist (z. B. \(\beta_1\alpha \alpha \alpha\gamma\gamma_6\beta_7 \alpha \gamma)\), so ist die Summe dieser Zahlen \(p_1 + p_2g +\cdots = p\) der ``greater index'' (\(1+6+7\) in unserem Beispiel). Entsprechend erhält man den ``equal index'' \(q\) und den ``lesser index'' \(r\), indem man unter das linke Glied eines equal oder minor contacts die entsprechenden Zahlen schreibt und addiert. Im ersten Teil der Abhandlung werden Eigenschaften der Funktionen \(\sum x^p\), \(\sum x^q\), \(\sum x^r\), \(\sum x^{p+q}\), \(\sum x^{p+q+r}\), betrachtet, wo die Summation sich über sämtliche Permutationen von \(a^{i_1}_1 a^{i_2}_2 a^{i_3}_3\dots\) erstreckt. Dann werden die arithmetischen Mittel der einzelnen Indizes für sämtliche Permutationen berechnet, ebenso die arithmetischen Mittel der Quadrate und Kuben. Im zweiten Teil werden dieselben Untersuchungen durchgeführt für den ``maior'' und ``minor'' index (wobei freilich einige Fragen offen bleiben). Ist \(a_\mu, a_\lambda\) der \(gt^{\text{te}}\) maior contact einer Permutation von links ab gerechnet und \(a_\mu\) der \(p_g^{\text{te}}\) Buchstabe der Permutation, so ist \(\sum_g(\mu-\lambda)p_g = P\) der ``maior'' index. Entsprechned wird der ``minor'' index definiert.