Proof of the finiteness of modular covariants. (Q1476133)

Seien die \(f_i(i=1,2,\dots,l)\) ein System von Grundformen in den \(m\) Variabeln \(x_k\) mit \(\text{mod.} p\) (\(p\) Primzahl) zu nehmenden ganzzahligen Koeffizienten \(c_1,c_2,\dots \) und \(T\) eine lineare Substitution der \(x\) mit ganzzahligen Koeffizienten \(t_{rs}\text{mod.} p\), die \(f_i\) in \(f_i^\prime\) und die \(c\) in die \(c'\) überführt. Ferner sei \(K(x/c)\) eine ganzrationale Funktion mit ganzzahligen Koeffizienten \(\text{mod.} p\). Dann heißt \(K\) gegenüber der Gruppe \(G\) aller \(T\) eine Modularkovariante vom Index \(\mu\), wenn \[ (1)\quad K'(x'/c')=| t_{ik}| ^\mu K(x/c)\text{mod.}p; \] identisch in den \(x\) und \(c\) erfüllt ist. Allgemeiner seien die \(c_i,t_{ik}\) und die Koeffizienten der Kovarianten \(K\) \textit{Galois}sche Imaginäre: \[ r_0+r_1\varrho+\cdots +r_{n-1}\varrho^{n-1}(r_i=0,1,\dots,p-1), \] wo \(q\) die Wurzel einer bestimmten \(\text{mod.} p\) irreduzibeln Kongruenz \(n\)-ten Grades sei. Diese \(p^n\) \textit{Galois}schen Imaginären bilden einen Körper (oder ein Feld), das \textit{Galois}sche Feld \(GF[p^n]\) der Ordnung \(p^n\). Dann lautet der Endlichkeitssatz: (I) ``Die Reihe aller Modularkovarianten eines Systems von Grundformen in \(m\) Variabeln ist eine endliche, so daß sie sich als ganzrationale Funktionen mit Koeffizienten im Basisfelde einer endlichen Anzahl unter ihnen darstellen lassen.'' Der Beweis wird zunächst für den Fall binärer Grundformen \((m=2)\) geführt. Die zweireihige Determinante \(L=\left| \begin{matrix} &x^{(p^{kn}} & y^{p^{kn}}\\ &x & y\end{matrix}\right| \) ist eine Invariante vom Index gegenüber \(G\), und die Form \[ Q=\frac{x^{p^{2n}}y-xy^{p^{2n}}}{L}=x^p+\cdots (P=p^{2n}-p^n) \] ist eine absolute Kovariante. Es ist zu verlangen, daß, unter \(\Pi\) ein Produktzeichen verstanden, (2) \(L=g\Pi(x-ay),\) wo \(a\) das Basisfeld durchläuft. Eine Kovariante \(K\) der Ordnung \(\Omega\) eines Systems \(\Sigma\) von binären Formen heißt regulär oder irregulär, je nachdem ihr Leitglied von Null verschieden ist oder nicht. Im letzteren Falle besitzt sie den Faktor y, also auch den Faktor \(L\). Die Anzahl der Leitglieder \(S\) der regulären Kovarianten ist, wie leicht ersichtlich, eine endliche. Ist \(\omega\) eine gegebene ganze Zahl und \(\Omega\equiv \omega \text{mod.} P\), so bilden alle regulären Kovarianten mit gegebenem Leitglied \(S\) und von Ordnungen \(\Omega\) ``die Reihe \([S,\omega]\)''. Die Anzahl \(f\) dieser Reihen ist wiederum endlich. Sei \(k=sx^\omega+\cdots \) eine Kovariante der Reihe \([S,\omega]\) mit einer kleinsten Ordnung \(\omega\). Weitere Kovarianten der Reihe sind dann dargestellt durch \(K=Sx^{\omega+tP}+\cdots \) (\(t\) ganzzahlig \(\geqq 0\)). Mithin besitzt die Kovariante \(K-k Q^t\) den Faktor \(y\), ist also irregulär. Daher ist jede reguläre Kovariante von dem Typus \[ \varphi(k_1,\dots,k_f,Q)+I, \] wo \(\varphi\) eine Form mit ganzen Koeffizienten in \(Q\) bedeutet undJ eine irreguläre Kovariante. An Stelle von \(I\) läßt sich wieder \(L\) einführen, und damit ist bewiesen, daß jede Kovariante des Systems \(\Sigma\) durch die \(f+2\) Formen \(k_1,\dots,k_f, Q, L\) ganzrational darstellbar ist. Es wird zu den ternären Formen übergegangen. An die Stelle von \(L\) treten jetzt drei analoge Bildungen \(L_3,L_3^\prime,L_3^{\prime\prime}\). Zur Gruppe \(G\) gehören dann die universalen Kovarianten \(L_3,Q_{31}=\frac{L_3^\prime}{L_3}, Q_{32}=\frac{L_3^{\prime\prime}}{L_3}\). Es ist \(Q_{32}=x_1^P+\cdots, Q_{31}=L^E+x_3(), P=p^{3n}-p^{2n}, E=p^{2n}-p^n; L=y_1^{p^n}x_2-x_1x_2^{p^n}\) (wie bei \(n=2\)). Eine Kovariante \(K\) eines Systems \(\Sigma\) ternärer Formen \(f_i\) heißt irregulär oder regulär, je nachdem sie durch \(x-3\) teilbar ist oder nicht; eine irreguläre \(K\) besitzt daher den Faktor \(L_3\). Mit \(k\) werde die Summe der Glieder in einer regulären Kovariante \(K\) bezeichnet, die \(x_3\) nicht enthalten. Übt man eine Transformation der \(x_1,x_2\) aus, so erkennt man, daß, wenn \(k\) den Faktor \(x_2\) besitzt, so auch den Faktor \(L\), so daß \[ k=L^A(S x_1^B+S_1x_1^{B-1}x_2+\dots ) \] wird. \(S\) heißt das Leitglied von \(K\). Ist \(A\equiv a\text{mod.} E\), \(B\equiv b\text{mod.} P\), so bezeichne \([S,a,b]\) die Reihe aller regulären Kovarianten \(K=SL^Ax_1^B+\cdots \) mit gegebenen \(S,a,b\). Aus dieser Reihe läßt sich eine endliche Anzahl von \(K_i=SL^{A_i}x_1^{B_i}+\cdots \) absondern, wo \(A_i\leqq A, B_i\leqq B\). Sind \(l, m\) ganzzahlig \(\geqq 0\), so erhält jedes \(K\) die Gestalt: \[ K=SL^{A_i+lE}x_1^{B_i+mP}+\cdots, \] und damit auch \(K=K_iQ_{31}^lQ_{32}^m+K'\), wo \(K'\) entweder irregulär ist oder regulär mit einem Exponenten \(B' < B\). In letzterem Falle setze man das Verfahren fort. Dann ist, bis auf eine irreguläre Kovariante, \(K\) ganzrational darstellbar durch eine endliche Anzahl von \(K_i\), sowie \(Q_{31}\) und \(Q_{32}\). An Stelle von \(I\) läßt sich aber wieder \(L_3\) einführen, womit die Endlichkeit bewiesen ist. In analoger, nur entsprechend komplizierterer Weise wird der Beweis allgemein für \(m\)-äre Grundformen geführt.