Über den Zusammenhang zwischen den irreduziblen Teilern einer Form und einem linearen System ihrer Nullstellen. (Q1476141)

In früheren Arbeiten (F. d. M. 35, 133 (JFM 35.0133.*), 1904; 38, 162, 1907) hat der Verf. gezeigt, wie sich die linearen und quadratischen Teuer einer Form \(F(x_1,x_2)\) mit Hülfe gewisser Nullstellen von \(F\) berechnen lassen. Dies deutet darauf hin, daß auch bei Formen mit mehr als zwei Variabeln zwischen den -- im Rationalitätsbereiche \(1,i\) -- irreduzibeln Teilern und einer passend gewählten endlichen Anzahl von Nullstellen ein ähnlicher Zusammenhang gesteht. Sei \(F(x_i) (i=1,\dots,n)\) eine Form \(p^{\text{ten}}\) Grades, wo \(n>2, p>1\). Man verbinde die Gleichung \(F=0\) mit den Gleichungen \(x_i=a_i+\lambda b_i\), d. h. geometrisch, man schneide das Gebilde \(F\) mit einer Geraden \(g\). Man erhält durch Elimination der \(x_i\) die ``Schnittpunktegleichung'': \(F(a_i+\lambda b_i)=0\), deren Wurzeln mit \(\lambda_k(k=1,\dots,p)\) bezeichnet seien. Jedem dieser \(p\) Werte entspricht eine Nullstelle (Punkt) \((\lambda_k)\) von \(F_i\); sie heißen ein ``lineares System von Nullstellen'' der Form \(F\). Diese Nullstellen sollen ``einfache'' sein, d. h. von einander verschieden. Dies würde nicht zutreffen, wenn \(F\) mehrfache Teiler besitzt: in diesem Falle wird \(F=u_1^{a_1}\dots u_r^{a_r}\) ersetzt durch die ``Reduzierte'': \(f=u_1u_2\dots u_r\), die sich ergibt, wenn man \(F\) mit dem gr. gem. Teiler von \(F\) und \(frac{\partial F}{\partial X_i}\) dividiert. Hierbei muß \(x_i\) in allen Teilern von \(F\) vorkommen, was sich durch eine lineare Substitution stets erreichen läßt. Man kann weiter die Gerade \(g\) stets so wählen, daß die Schnittpunktegleichung \(f(a_i+\lambda b_i)=0\) nur einfache Wurzeln besitzt. Insbesondere nehme man \(x_1=\lambda, x_2=a_2,\dots,x_n=a_n\), so daß die Schnittpunktegleichung wird: \[ f(\lambda, a_2,a_3,\dots,a_n)=0. \] Alsdann kann man aber schließen, daß die gegebene Form aus lauter einfachen Faktoren besteht. Entspricht also einer Form ein lineares System einfacher Nullstellen, so besteht sie aus lauter einfachen Faktoren. War nun der Teiler \(u_i\) von \(f\) vom Grade \(v_i\), so entsprechen ihm genau \(v_i\) Nullstellen \(\lambda\). Es kommt nun darauf an, den Teiler zu berechnen, der einer Nullstelle entspricht. Dies geschieht mit Hülfe der Polaren von \(f\). Entspricht z. B. der Nullstelle \((\lambda_i)\) ein linearer Teiler, so ist \(u_i\) direkt die Polare von \(f\) in bezug auf den Pol \((\lambda_i)\). Mittels der ersten und zweiten Polaren lassen sich die quadratischen Teiler von \(f\) bestimmen, usf.