Zahlentheorie. (Q1476291)

Dieses Buch, eine vorzügliche, klare und einfache Einführung in die seit Jahren vom Verf. ausgebildete und weiter entwickelte Zahlentheorie, beginnt im 1. Kapitel mit der Aufstellung der Zahlbereiche mittels der elementaren Rechenoperationen. Die Teilbarkeit der Zahlen und die Zerlegung in Primzahlen bringt das 2. Kapitel. Erst im 3. fängt die eigentliche \textit{Hensel}sche Theorie an. Die Betrachtung der Zahlen in bezug auf eine festgewählte positive Zahl \(g\) führt zu den Kongruenzen; letztere werden gleich für gebrochene Zahlen, die ``ganzen Zahlen'', definiert, deren Nenner zu \(g\) teilerfremd ist. Ist es auch der Zähler, so heißt die Zahl ``Einheit''. Aus der Kongruenz ergibt sich die \(g\)-adische Entwicklung der Zahlen. Das nächste Kapitel behandelt die allgemeine reduzierte und nicht reduzierte \(g\)-adische Zahl, ihre Näherungswerte und ihre Rechnungsregeln, vor allem die Definition des Begriffes ``gleich''. Im 5. Kapitel wird der Ring der \(g\)-adischen Zahlen zusammengesetzt aus den Ringen, die den Primteilern von \(g\) entsprechen. Daraus ergibt sich einfach die Einteilung in Klassen (mod. \(g\)) und der kleine \textit{Fermat}sche Satz. Es genügt also, die \(p\)-adischen Zahlen zu betrachten, wo \(p\) eine Primzahl ist. Dies geschieht im 6. Kapitel. Speziell wird hier die Grundlage der Theorie von unendlichen Reihen entwickelt, deren Koeffizienten \(p\)-adische Zahlen sind. Das 7. Kapitel führt zur Funktionentheorie der Variablen im Bereiche der \(p\)-adischen Zahlen. Von besonderer Bedeutung ist die Exponentialfunktion und der Logarithmus, welch letzterer jeder Haupteinheit zugeordnet werden kann. Die Theorie der algebraischen Gleichungen mit \(p\)-adischen Koeffizienten wird speziell auf den Fall der Gleichung \[ x^m-1=0 \] angewandt. Jetzt kann mit der eigentlichen Zahlentheorie im \(p\)-adischen Körper begonnen werden. Zunächst hat die Gleichung \[ x^{p-1}-1=0 (p) \] \(p-1\) \(p\)-adische Wurzeln, die Einheitswurzeln \(w\). Mit Hülfe derselben kann jede \(p\)-adische Zahl \(A\) in der Form \[ A=p^\alpha w^\beta e^\gamma \] dargestellt werden. \((\alpha,\beta,gamma)\) ist der Logarithmus von \(A\). Diese Darstellung erlaubt, jede \(p\)-adische Zahl \(A\) (mod. \(p^k\)) zu betrachten: primitive Wurzeln (mod. \(p^k\)), Theorie der Indizes und lineare Kongruenz nach einem beliebigen \(p\)-adischen Modul. Das 9. Kapitel löst dieselben Aufgaben für die allgemeinen \(g\)-adischen Zahlen, indem der Ring der \(g\)-adischen Zahlen aus den Ringen seiner Primzahlpotenzen zusammengesetzt wird. Damit kann im 10. Kapitel die reine Gleichung \[ x^\mu=A(g) \] aufgelöst werden. Speziell betrachtet der Verf. den Fall \(\mu=2\). Die Kongruenz und, von \(\mu=2\), das verallgemeinerte \textit{Legendre}sche Symbol für den Bereich der \(g\)-adischen Zahlen, werden ebenso behandelt. Es ergibt sich schließlich sehr einfach ein anderer Beweis des \textit{Wilson}schen Satzes. Das 11. Kapitel nimmt \(A\) als Einheit \(E\) an und setzt \(\mu=2\). Das \textit{Legendre}sche Symbol von \(E\) nach jeder Primzahl wird bestimmt und ergibt das gewöhnliche \textit{Euler}sche Kriterium. Daraus folgt die Theorie der quadratischen Reste, das \textit{Gauß}sche Lemma, die Ergänzungssätze und das quadratische Reziprozitätsgesetz. Das letzte, 12. Kapitel bespricht die Auflösung der quadratischen Form \[ a_{11}x_1^2+2a_{12}x_1x_2+\dots+a_{nn}x_n^2=0(p) \] im Bereich der \(p\)-adischen Zahlen, falls \(n = 2\) oder 3 ist. Die Gleichung im Bereich der \(p\)-adischen Zahlen \[ ax^2+by^2+cz^2=0(p) \] gibt Anlaß, das \textit{Hilbert}sche Normenrestsymbol einzuführen und die Beziehungen desselben, speziell die Gleichung \[ \prod_{(p)}\left(\frac{d,e}{p}\right)=+1 \] zu beweisen. Dabei ist der wesentliche Gedanke, daß die Form als gegeben, die Primzahl \(p\) als veränderlich angesehen wird. Obige Formel hat dann folgenden Inhalt: Jede ternäre quadratische Form hat nur für endlich viele Primzahlen \(p\) keine \(0\)-Darstellung im Bereich der \(p\)-adischen Zahlen. Die Anzahl derselben ist stets gerade. Die Formen gegebener Diskriminanten können daher in Geschlechter eingeteilt werden. Dieses Kapitel behandelt als gleichberechtigt auch den Körper \(R(p_\infty)\) aller reellen Zahlen. Das ganze Buch ist mit zahlreichen, überaus anschaulichen Zahlenbeispielen versehen.