Irregular numbers. (Q1476321)

Es bezeichnen \(a_2,a_3,a_5,a_7\dots\) Zahlen kleiner als 1, wo die Indexe \(2,3, 5, 7,\dots\) die Primzahlen sind. Dann ist \[ \begin{aligned} &\frac{1}{1-a_2}\cdot\frac{1}{1-a_3}\cdot\frac{1}{1-a_5}\cdots=1+a_2+a_3+a_2\cdot a_2+a_5+a_3a_2+a_7+a_2\cdot a_2\cdot a_2+a_3\cdot a_3+\cdots,\\ &\frac{1}{1+a_2}\cdot\frac{1}{1+a_3}\cdot\frac{1}{1+a_5}\cdots=1-a_2-a_3+a_2-a_5+a_2\cdot a_3-a_7-a_2\cdot a_2\cdot a_2+a_3\cdot a_3\cdot+\cdots,\\ &(1+a_2)(1+a_3)(1+a_5)(1+a_7)\cdots=1+a_2+a_3+a_5+a_2\cdot a_3+a_7+a_2a_5+a_{11}+a_{13}+\cdots\\ &(1-a_2)(1-a)3)(1-a_5)(1-a_7)\cdots=1-a_2-a_3-a_5+a_2\cdot a_3-a_7\cdots\end{aligned} \] Hieraus werden für \(a_2=\frac{1}{2^n}, a_3=\frac{1}{3^n}, a_5=\frac{1}{5^n},\dots\) mehrere Beziehungen abgeleitet.