Über die Zerlegung der natürlichen Zahlen in Primfaktoren. (Q1476325)

Ist \(w=[\sqrt{a}]\) und \(a=w^2+r\), so zeigt die Gleichung \(a=(w-x)(w+x)+r+x^2\), daß jeder gemeinsame Primfaktor von \(w-x\) und \(r+x^2\) (und ebenso von \(w+x\) und \(r+x^2\)) auch Primfaktor von \(a\) ist. Es kommt nun offenbar darauf an, daß bei dieser Prüfung jede Primzahl \(\leqq w\) auftritt. Hierzu genügt es, \(x\) alle Werte \(1,2,3,\dots,\left[\frac{w}{w}\right]\) zu erteilen. Doch kann man oft in speziellen Fällen mit noch weniger Werten auskommen. Ähnlich läßt sich die Gleichung \(a=(w-x)(w+x+1)+(r-w)+x(x+1)\) verwerten und noch allgemeiner, wenn \(\kappa\) und \(\lambda\) zwei teilerfremde Zahlen sind, \(b=\left[\frac{\kappa a}{\lambda}\right]\), \(\kappa a=\beta b+\varepsilon\) und \(b=a^2+\varrho\) ist, die Gleichungen \[ \begin{aligned} & \kappa a=\lambda(w-x)(w+x)+\lambda\varrho+\varepsilon+\lambda x^2,\\ & \kappa a=\lambda(w-x)(w+x+1)+\lambda(\varrho-w)+\varepsilon+\lambda x(x+1).\end{aligned} \] Es wird jetzt noch die Frage nach günstigen Wertepaaren \(\kappa, \lambda\) besprochen.