Sulla divisibilità della somma di potenze simili di numeri interi consecutivi del numero dei suoi termini. (Q1476347)

Fortsetzung der Untersuchung in der Note ``Di una proprietà dei numeri primi'' [Periodico di Mat. (3) 9, 79--83 (1911; JFM 42.0207.02)]. Es sei \(S(k, n)=1^n+2^n+3^n+\ldots+k^n\) und \(Z(k, n)\) die Summe der Glieder in \(S(k,n)\), die teilerfremd zu \(k\) sind. Folgende Sätze werden bewiesen: I. Wenn \(k\) eine ungerade Zahl und \(n\) eine durch keinen um 1 verminderten Primteiler von \(k\) teilbare ganze Zahl ist, so ist \(S(k, n)\) ein Vielfaches von \(k\). II. Die Summe \(S(2^\lambda,n)\) ist durch \(2^\lambda\) teilbar, wenn \(n\) ungerade und größer als 1 ist außerdem \(\lambda>1\); in jedem anderen Falle ergibt die Division durch \(2^\lambda\) den Rest \(2^{\lambda-1}\). III. Wenn \(k\) eine gerade Zahl und \(n\) eine ungerade Zahl größer als 1 ist, so ist die Summe \(S(k, n)\) teilbar durch \(k\) oder nur durch \(\frac12\,k\), je nachdem \(k\) durch 4 oder nicht durch 4 teilbar ist. Ist \(n=1\), so ist \(S(k,n)\) bloß durch \(\frac12\,k\) teilbar. Wenn endlich \(n\) gerade ist, so ist \(S(k,n)\) bloß durch \(\frac12\,k\) teilbar oder, falls überdies \(n\) nicht ein Vielfaches irgendeines der um 1 verminderten Primfaktoren von \(k\) ist. IV. Wenn \(p\) eine ungerade Primzahl und \(n\) durch \(p-1\) teilbar ist, so gibt die Division von \(S(p^\alpha,n)\) durch \(p^\alpha\) den Rest \(\varphi(p^\alpha)\). V. Wenn \(n\) und \(k=2^\lambda a^\alpha b^\beta c^\gamma\cdots = 2^\lambda L=a^\alpha A=b^\beta B=c^\gamma C = \cdots(\lambda\ge 0, \alpha\ge 0, \beta\ge 0, \gamma\ge 0,\ldots)\) ganze Zahlen sind und \(a,b,c,\ldots\) die verschiedenen ungeraden Primfaktoren von \(k\), so besteht die Kongruenz \[ S(k,n)\equiv \varepsilon_2L\varphi(2^\lambda)+\varepsilon_\alpha A\varphi(a^\alpha)+\varepsilon^\beta B\varphi(b^\beta)+\varepsilon C\varphi(c^\gamma)+\ldots, \] wo \(\varepsilon_2=0\) ist, wenn \(n\) ungerade und \(>1, \lambda>1, \pmod k\), aber \(\varepsilon=1\) in allen anderen Fällen; \(\varepsilon_\alpha=1\) oder \(=0\), je nachdem \(n\) ein Vielfaches von \(a-1\) ist oder nicht; ähnlich für \(\varepsilon_b,\varepsilon_c,\ldots\). Bei denselben Bezeichnungen besteht die Kongruenz \[ Z(k,n)\equiv \varphi(k)\{\varepsilon_2L^{\varphi(2^\lambda)}+\varepsilon_a A^{\varphi(b^\beta)} + \varepsilon_b B^{\varphi(b^\beta)}+\cdots\} \pmod k, \] wo \(\varepsilon_2=0\), wenn \(n\) ungerade und \(\lambda>1\) ist, dagegen \(\varepsilon_2=1\) in jedem anderen Falle; \(\varepsilon_a\) ist 1 oder 0, je nachdem \(n\) ein Vielfaches von \(a-1\) ist oder nicht; ebenso \(\varepsilon_b,\varepsilon_c\) usw.