Some asymptotic expressions in the theory of numbers. (Q1476408)

Es sei \(\varphi(x)\) die Anzahl der zu \(x\) teilerfremden Zahlen \(<x\), \(T(x)\) die Anzahl der Teiler von \(x\), und \(s_a(x)\) die Summe der \(a^{\text{ten}}\) Potenzen dieser Teiler. Der Verf. dehnt das \textit{Landau}sche Resultat: \[ \lim_{x=\infty}\inf\;\frac{\varphi(x)}{\frac{x}{\text{lg lg } x}}=e^C,\;\lim_{x=\infty}\sup\;\frac{\varphi(x)}{x}=1 \] (\(C\) die \textit{Euler}sche Konstante) und das \textit{Wigert}sche Resultat \[ \lim_{x=\infty}\inf T(x)=2,\;\lim_{x=\infty}\sup\;\frac{\log T(x)}{\frac{\text{lg\,}x}{\text{lg lg}x}}=\text{lg} 2 \] auf die Funktion \(s_a(x)\) aus, indem er die beiden Relationen beweist: \[ \lim_{x=\infty}\inf\;\frac{s_\alpha(x)}{x^\alpha}=1\;(\alpha>0) \] und \[ \begin{aligned} &\lim_{x=\infty}\sup\;\frac{s_\alpha(x)}{x^\alpha}=\zeta(\alpha),\;\text{wenn}\;\alpha>1,\\ &\lim_{x=\infty}\sup\;\frac{s_1(x)}{x\text{lg lg\,}x}=e^C,\;\text{wenn}\;\alpha=1,\\ &\lim_{x=\infty}\sup\;\frac{\text{lg\,}\frac{s_\alpha(x)}{x^\alpha}}{\frac{(\text{lg\,} x)^{1-a}}{\text{lg lg\,}x}}=\frac{1}{1-\alpha},\;\text{wenn}\;0<\alpha<1.\end{aligned} \]