Diophantische Gleichungen im Bereich aller ganzen algebraischen Zahlen. (Q1476426)

Die Arbeit handelt von der Auflösung der Gleichung \[ \alpha x+\beta y=\gamma, \] wo \(\alpha,\beta,\gamma\) ganze algebraische Zahlen sind, in irgendwelchen ganzen algebraischen Zahlen \(x, y\). Der Verf. beweist: Sind \(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_m,\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_m\), \(\gamma\) irgendwelche ganzen algebraischen Zahlen, die folgenden Bedingungen genügen: \[ \begin{matrix} (\alpha_i,\beta_i)&=1,\;(\alpha_i,\gamma)&=1,\;(\beta_i,\gamma)&=1\;(i&=1,2,\dots,m);\\ (\alpha_i,\alpha_k)&=1,\;(\beta_i,\beta_k)&=1,\;&i\neq k\;(i,k&=1,2,\dots,m);\end{matrix} \] \[ \beta_k\alpha_i-\beta_i\alpha_k\equiv 0 (\text{mod.} \gamma); (\beta_k\alpha_i-\beta_i\alpha_{k^prime}\alpha_{i^\prime}-\beta_{i^\prime}\alpha_{k^\prime})=\gamma \] \[ (i,h,i',h'=1,2,\dots,m, (i-i')^2+(k-k')^2>0), \] so ist das System der Gleichungen \[ \beta_i=\alpha_i\xi+\gamma \eta_i(i=1,2,\dots,m) \] stets durch Einheiten \(\xi,\eta_i (i=1,2,\dots,m)\) zu befriedigen. Selbstverständlich wird kein Körper zugrunde gelegt, sondern es werden irgendwelche algebraischen Einheiten verlangt. Es gibt also z. B. zu drei algebraischen Zahlen \(\alpha,\beta,\gamma\), von denen je zwei teilerfremd sind, zwei Einheiten \(\varepsilon_1,\varepsilon_2\), so daß \[ \varepsilon_1\alpha+\varepsilon_2\beta=\gamma. \] Daraus folgt weiter: Sind in der Primitivform: \[ P_{m+1}(x,y)=(a_0x+b_0y)(a_1x+b_1y)\dots(a_mx+b_my), \] wo die \(a_i\) und \(b_k\) ganze algebraische Zahlen sind, die Größen \[ D_{ki}=b_ka_i-a_kb_i \] zu je zweien teilerfremd, so besitzt die Gleichung \[ P_{m+1}(x,y)=\gamma \] mit der ganzen algebraischen Zahl \(\gamma\) stets eine Lösung in ganzen algebraischen Zahlen \(x, y\).