On the resolution of a given modular system into primary systems including some properties of \textit{Hilbert} numbers. (Q1476436)

1. Einleitung: ``In Math. Ann. 60, S. 51, Satz VII (F. d. M. 36, 292 (JFM 36.0292.*), 1905) beweist \textit{E. Lasker}, daß jeder Modul (Modulsystem) der kleinste enthaltende Modul (L. C. M.) einer endlichen Anzahl primärer Moduln ist. Sein keinen Punkt enthaltender Modul \(R\) wird in der gegenwärtigen Abhandlung als ein den Ursprung enthaltender primärer Modul angesehen. Die folgende Untersuchung befaßt sich mit der wirklichen Auflösung jedes Moduls, dessen Basis gegeben ist, in primäre Moduln und umfaßt eine Anzahl von damit zusammenhängenden Sätzen. Die beschriebenen Prozesse und Methoden gründen sich auf \textit{Noether}s Fundamentaltheorem (Math. Ann. 6, 351, 1873), dem \textit{Lasker} in seinen Sätzen VII und XXVII den allgemeinsten und vollständigsten Ausdruck gegeben hat. Einige einfache Beispiele für die Auflösung eines Moduls werden in den \S\S\,44-46 gegeben; für die Ausführung der Auflösung im allgemeinen werden aber die folgenden umfassenden Annahmen gemacht: I. Die Basis des L. C. M. eines jeden gegebenen Modulsystems ist bekannt. II. Die Basis des Residuums eines jeden Moduls in bezug auf ein anderes ist bekannt. III. Ein vollständiges System linear unabhängiger Glieder jedes angegebenen (zahlenmäßig bezeichneten) Grades eines gegebenen \(H\)-Moduls kann niedergeschrieben und abgezählt werden. Ein wesentlicher Grundzug der Untersuchung besteht darin, daß \(H\)-Moduln und \(K\)-Moduln (\textit{Hilbert}sche und \textit{Kronecker}sche Moduln) gleichzeitig betrachtetwerden; dies ist beinahe notwendig für meinen Standpunkt, und ich umgehe dies nicht, obgleich es zur Wirrnis des Gegenstandes hinzutritt. Außer der Auflösung eines Moduls in primäre Moduln gibt es eine Richtung, nach der ein primärer Modul selbst aufgelöst werden kann. Es läßt sich zeigen, daß ein primärer Modul aufgebaut werden kann auf einer gewissen Anzahl von Hüllen (``layers'', roh erläutert durch die vielfachen Hüllen, in die ein Körper eingewickelt werden kann), und seine Auflösung besteht in der Entfernung der Hüllen, jedesmal einer einzelnen. Die Anzahl der Hüllen heißt die Vielfachheit des primären Moduls. Der Keim der in dieser Abhandlung entwickelten Ideen ist in einer früheren Arbeit zu finden (Lond. M. S. Proc. 31, 381-422; F. d. M. 30, 509 (JFM 30.0509.*), 1899), in der die enge Abhängigkeit von dem \textit{Noether}schen Fundamentaltheorem ebenfalls zutage liegt. Ich habe vor einiger Zeit die vollständigere Bedeutung dieser Ideen im Zusammenhange mit der Theorie der Modulsysteme entwickelt, habe aber keine frühere Gelegenheit gehabt, sie zu gestalten. Ich habe es nicht für nötig erachtet, alle gemachten Aussagen zu beweisen, habe jedoch bewußtermaßen keine Eigenschaft angenommen, ohne einen Beweis erlangt zu haben, wofern nicht das Gegenteil klar festgestellt ist.'' II. Definitionen und vorgängige Festsetzungen. III. Auflösung eines Moduls. IV. Theoreme. V. \textit{Hilbert}sche Zahlen