Über die \textit{Markoff}schen Zahlen. (Q1476457)

Es sei \[ \psi=ax^2+bxy+c y^2 \] eine indefinite quadratische Form der Diskriminante \(D=b^2-4ac\). \(M\) sei der kleinste Wert von \(| \psi|\), wenn \(x,y\) die ganzen Zahlen durchlaufen. \textit{A. Markoff} hat bewiesen, daß nur dann \[ \sqrt{D}<3M \] ist, wenn \(\psi\), mit einem geeigneten Faktor multipliziert, einer Form \[ \varphi=p x^2+(3p-2q)xy+(r-32)y^2 \] äquivalent ist. \(p, q, r\) sind hier positive ganze Zahlen; \(p\) genügt einer Gleichung \[ p^2+p_1^2+p_2^2=3p p_1 p_2, \] wo auch \(p_1\) und \(p_2\) ganze Zahlen sind, und wird vom Verf. eine \textit{Markoff}sche Zahl genannt. \(\pm q\) ist der absolut kleinste Rest von \(\frac{p_1}{p_2}(\text{mod.} p)\) und \(r\) durch \(pr-q^2=1\) bestimmt. Für \(\varphi\) ist: \[ D=9p^2-4, M=p, \frac{\sqrt{D}}{M}=3\sqrt{1-\frac{4}{9p^2}}<3. \] Der Verf. gibt einen neuen Beweis für diese Eigenschaften der Form \(\varphi\), ohne auf das allgemeine \textit{Markoff}sche Problem einzugehen. Er studiert hierauf die \textit{Markoff}schen Zahlen genauer und entwickelt für sie eine explizite Darstellung durch die Teilnenner eines Kettenbruches. Vgl. über den Gegenstand auch \textit{Hurwitz}, F. d.M. 38, 246, 1907.