An extension of a theorem on oscillating series. (Q1476548)

Der hier bewiesene Satz ist für einen speziellen Fall vom Verf. schon früher bewiesen (vgl. F. d. M. 41, 278, 1910, sowie 43, 312, 1912). Ist \(0\leq \lambda_1<\lambda_2<\dots \to +\infty\), so heißt eine Reihe \(\sum c_n\) summierbar \((R,\lambda, \kappa)\), d. h. nach der Rießschen Methode unter Benutzung der gewählten Folge \((\lambda_n)\) und eines bestimmten Exponenten \(\kappa\), wenn \[ \frac{1}{\omega^\kappa}\;C^{(\kappa)}(\omega)=\frac{1}{\omega^\kappa}\sum_{\lambda_n\leqq \omega} (\omega-\lambda)^\kappa c_n \] für \(\omega\to\infty\) einen Grenzwert hat, welcher dann die ``Summe'' von \(\sum c_n\) heißt. Es gilt nun die über den a. a. 0. bewiesenen Satz hinausgehende Tatsache: Ist \(\sum c_n\) summierbar \((R,\lambda,\kappa)\) und ist \[ c_n=O\left(\frac{\lambda_n-\lambda_{n-1}}{\lambda_n}\right), \] so ist \(\sum c_n\) sogar im gewöhnlichen Sinne konvergent. Anders ausgedrückt: Wenn die \(c_n\) der genannten Bedingung genügen, und wenn \(\sum c_n\) nicht konvergiert, so kann dem Symbol \(\sum c_n\) auch durch die Rießschen Methoden keine Bedeutung gewonnen werden.