Bedingt konvergente Reihen und konvexe Systeme. (Teil I.). (Q1476558)

Die vorliegende Arbeit greift in umfassender Weise ein sehr einfach zu formulierendes, aber, wie es scheint, sehr tief hinabreichendes Problem an: Eine bedingt konvergente Reihe mit reellen Gliedern kann bekanntlich so umgeordnet werden, daß sie konvergent bleibt und eine vorgeschriebene Summe bekommt. Das Problem lautet nun: Ist etwas Entsprechendes (wenigstens in gewissem umfange) auch für Reihen mit komplexen Gliedern der Fall? Die Gesamtheit der durch Umordnung erzielbaren Summenwerte nennt \textit{Steinitz} den Summenbereich der Reihe. Der Summenbereich einer reellen Reihe ist danach entweder ein Punkt oder die ganze reelle Achse. Sind \(\sum a_n\) und \(\sum b_n\) zwei bedingt konvergente reelle Reihen, so zeigen die Beispiele \[ \alpha + \sum\omega a_n\text{ und }a_1 + ib_1 + a_2 + ib_2+ \dots \] (\(\alpha\) und \(\omega\) beliebig komplex), daß der Summenbereich einer bedingt konvergenten komplexen Reihe eine Gerade \((\alpha + r\omega, -\infty <r<\infty)\) oder die ganze Ebene sein kann. Hiermit ist aber schon das allgemeinste Verhalten getroffen; denn es gilt der das Problem vollständig erledigende Satz: Der Summenbereich einer beliebigen konvergenten komplexen Reihe ist entweder ein Punkt oder eine Gerade oder die ganze Ebene. Entsprechend gilt für komplexe Zahlen, die sich aus \(n\) Einheiten aufbauen, der Satz: Der Summenbereich einer beliebigen konvergenten Reihe aus solchen komplexen Zahlen ist stets eine lineare Mannigfaltigkeit (s.u.). Dieser Satz ist für den Fall gewöhnlicher komplexer Zahlen nicht neu, sondern schon von \textit{P. Lévy} (Nouv.Ann. (4), 5; F. d. M. 36, 320 (JFM 36.0320.*), 1905) erhalten und für beliebige \(n\) angedeutet worden; seine Beweise sind aber sehr unklar gefaßt und geben zu Bedenken Anlaß. Daher ist es zu begrüßen, daß \textit{Steinitz} seinen ebenfalls schon 1905 gefundenen, dem \textit{Lévy}schen verwandten, aber sehr durchsichtigen und in sich wertvollen Beweis veröffentlicht. Dieser ist jedoch in dem vorliegenden ersten Teil seiner großen Arbeit (der zweite ist 1914, der letzte 1915 erschienen) noch nicht enthalten. Hier werden vielmehr zunächst die Grundlagen der \(w\)-dimensionalen Geometrie, welche weiterhin überall gebraucht werden, im Zusammenhange vorgetragen, eine Darstellung, die sich durch große Klarheit und Übersichtlichkeit auszeichnet und geradezu als Einführung dienen kann. Abschn. I beschäftigt sich mit den grundlegenden Definitionen und mit den linearen Mannigfaltigkeiten (\S\S\ 1--5: Punkte des \(n\)-dimensionalen Raumes; Moduln; lineare Transformationen; lineare Mannigfaltigkeiten; Einführung metrischer Begriffe). Abschn. II mit Konvergenzbegriffen (\S\S\ 6--8: Schranken einer Punktmenge; abgeschlossene Punktmengen; Konvergenz). Abschn. III mit den konvexen Punktmengen, die in gewissem Sinne den zentralen Gegenstand der Untersuchungen bilden: eine Punktmenge heißt konvex, wenn sie mit zwei Punkten \(\alpha\) und \(\beta\) auch alle ihre Zwischenpunkte enthält (auch ein einzelner Punkt sowie der ganze Kaum gelten als konvexe Punktmengen). \S\ 9: Grundtatsachen über konvexe Punktmengen. \S\ 10: Analytische Darstellung der kleinsten, eine gegebene Punktmenge enthaltenden konvexen Punktmenge. \S\ II: Die kleinste, eine gegebene Punktmenge enthaltende konvexe und abgeschlossene Punktmenge. Abschn. IV endlich enthält einen auf ganz anderer Grundlage als der \textit{Lévy}sche beruhenden neuen Beweis des obengenannten Satzes über den Summenbereich einer komplexen Reihe, und zwar einen Beweis, der den aller-allgemeinsten Beweis ganz direkt angreift, und bei dem auch eine ziemlich einfache geometrische Deutung derjenigen linearen Mannigfaltigkeit herausspringt, die den Summenbereich der vorgelegten Reihe bildet.