A theorem concerning power series. (Q1476562)

Es handelt sich um die folgende Fragestellung: \(f(x)=\sum a_nx^n\) sei für \(| x|< 1\) regulär, für \(| x| \leqq 1\) stetig, und es sei \(| f(x)| < 1\) für \(| x| \leqq 1\). Läßt sich dann stets eine positive Zahl \(k\) so angeben, daß für \(| x|\leqq k\) immer (d. h. für jede den genannten Bedingungen genügende Potenzreihe) auch \(\sum | a_nx^n| < 1\) ist? und welches ist die obere Grenze \(K\) dieser Zahlen \(k\)? Es wird zunächst gezeigt, daß \(k = \frac16\) in jedem Falle ausreicht, daß also \(K\geqq \frac16\) ist; sodann (dieser Teil der Arbeit geht auf Mitteilungen von \textit{Rieß, Schur} und \textit{Wiener} zurück), daß \(K = \frac13\) ist.