Über die Bedeutung der Potenzreihen unendlich vieler Variabeln in der Theorie der \textit{Dirichlet}schen Reihen \(\sum\,\frac{a_n}{n^2}\). (Q1476602)

Ist \(\sum a_n n^{-s}\) eine gewöhnliche \textit{Dirichlet}sche Reihe, und setzt man \(p^{-s}_m =y_m\) (\(p_m = m\)-te Primzahl), so läßt sich zunächst rein formal \(\sum a_n n^{-s}\) als Potenzreihe von unendlich vielen Variabeln schreiben: \[ P(y_1,y_2,\dots) =\sum^\infty_{n=1} a_n y^{\nu_1}_{n_1} y^{\nu_2}_{n_2}\cdots y^{\nu_r}_{n_r}, \] wo die \(n_\lambda\), und \(\nu_\lambda\) die Indexe und Exponenten bei der Zerlegung von \(n\) in Primzahlen bedeuten. Also \[ \sum a_n n^{-s} = c +\sum_\alpha c_\alpha y_\alpha+ \sum_{\alpha\leqq\beta} c_{\alpha\beta} y_\alpha y_\beta+\cdots. \] Es wird nun die Potenzreihe der unendlich vielen Veränderlichen \(x_\lambda\) \[ P(x_2,x_2, \dots, x_m, \dots )= c+\sum_\alpha c_\alpha x_\alpha+ \sum_{\alpha\leqq\beta} c_{\alpha\beta} x_\alpha x_\beta+\cdots \] als die zur \textit{Dirichlet}schen Reihe ``gehörige'' Potenzreihe bezeichnet; und deren Eigenschaften stehen in tiefem Zusammenhang miteinander. Von den vielen interessanten Sätzen hierüber können nur einige Proben angegeben werden: 1. Bezeichnet \(U\) die Menge der Werte, die \(f(s) = \sum a_n n^{-s}\) auf der Geraden \(\sigma=\sigma_0\) annimmt, auf der \(\sum| a_n| n^{-\sigma_0}\) konvergiert, und bezeichnet \(V\) die Menge der Werte, die die Potenzreihe für \[ | x_1|\leqq p^{-Ka_0}_1,\;| x_2|\leqq p^{-\sigma_0}_2,\dots,| x_m|\leqq p^{-\sigma_0}_m,\dots \] annimmt, so ist \(U\) in \(V\) enthalten, und es liegt \(U\) überall dicht in \(V\). 2. Liegt \(\sigma_0\) im Innern des Gebietes absoluter Konvergenz, und bezeichnet nun \(W\) die Menge der Werte, die \(f(s)\) auf \(\sigma = \sigma_0\) oder in beliebiger Nähe dieser Geraden anzunehmen vermag, so ist sogar \(W\equiv V\). 3. Es sei \(P(x_1,x_2,\dots)\) im Gebiete \(| x_i|\leqq G_1\), \(| x_2|\leqq G_2,\dots\) (im Sinne \textit{Hilbert}s) beschränkt, und es sei \(\varepsilon_1,\varepsilon)2,\dots\) eine Folge positiver echter Brüche, für die \(\sum\varepsilon^2_n\) konvergiert; dann ist die Potenzreihe \(P\) im Gebiete \[ | x_1| \leqq \varepsilon_1 G_1,| x_2| \leqq \varepsilon_2G_2,\dots,| x_m|\leq \varepsilon_mG_m,\dots \] absolut konvergent. 4. Die weiteren Sätze beziehen sich auf die Bedeutung der Zahl \(S\), welche die obere Grenze aller derjenigen Zahlen \(\alpha\) darstellt, für die der vorige Satz mit \(\sum \varepsilon^\alpha_n\) statt \(\sum\varepsilon^2_n\) richtig bleibt. \(S\) steht in wichtigem Zusammenhang mit den Konvergenzproblemen der \textit{Dirichlet}schen Reihen (vgl. 1912; JFM 43.0328.01), sowie nachstehende Referate (JFM 44.0307.01; JFM 44.0307.02)). Es ergibt sich insbesondere, daß \(B-C \leqq\frac12\) ist, wenn \(B\) und \(C\) die Abszissen der absoluten, bzw. gleichmäßigen Konvergenz bedeuten.